Раціональна функція

Раціональна функція, функція, що виходить в результаті кінцевого числа арифметичних операцій (складання, множення і ділення) над змінним х і довільними числами. Р. ф. має вигляд:

,     (1)

де а ₀ , а ₁ ..., а _n і b ₀ , b ₁ ..., b _m ( а ₀ ¹ 0, b ₀ (0) — постійні, а n і m — ненегативні цілі числа. Р. ф. визначена і безперервна для всіх значень х , окрім тих, які є корінням знаменника Q ( x ) . Якщо x — корінь кратності до знаменника Q ( x ) і одночасно корінь кратності r ( r ³ до ) чисельника Р ( х ) , те R ( x ) має в точці x усунений розрив; якщо ж r < до , то R ( x ) має в точці x безконечний розрив (полюс). Многочлен є окремим випадком Р. ф. (при m = 0), тому многочлени інколи називаються цілими Р. ф.; всякий Р. ф. є відношення двох многочленів. Ін.(Древн) прикладом Р. ф. може служити лінійна для дробу функція .

  Якщо у формулі (1) n < m ( m > 0), то Р. ф. називається правильною; якщо ж n ³ m , то R ( x ) може бути представлена у вигляді суми многочлена M ( x ) міри n — m і правильним Р. ф. R ₁ ( x ) = :

R ( x ) = М-код ( х ) + R ₁ ( x ),

многочлени М-коду ( х ) і P ₁ ( x ) (міра останнього менше m ) однозначно визначаються із співвідношення

Р ( х ) = M ( x ) Q ( x ) + P ₁ ( x )

(формула ділення многочлена із залишком).

  З визначення Р. ф. витікає, що функції, що отримуються в результаті кінцевого числа арифметичних операцій над Р. ф. і довільними числами, знову є Р. ф. Зокрема, Р. ф. від Р. ф. є знов Р. ф. В усіх точках, в яких вона визначена, Р. ф. діфференцируєма, і її похідна

також є Р. ф. Інтеграл від Р. ф. зводиться по попередньому до суми інтеграла від многочлена і інтеграла від правильного Р. ф. Інтеграл від многочлена є многочленом і його обчислення не представляє праці. Для обчислення другого інтеграла користуються формулою розкладання правильного Р. ф. R ₁ ( x ) на простих дроби:

де x ₁ ..., x _s — різне коріння многочлена Q ( x ) відповідно кратностей до ₁ ..., k _s ( до ₁ + ... + k _s = m ), а   — постійні коефіцієнти. Розкладання Р. ф. на прості дроби (2) визначається однозначно. Якщо коефіцієнти многочленів P ₁ ( x ) і Q ( x ) — дійсні числа, то комплексне коріння знаменника Q ( x ) (в разі їх існування) розпадаються на пари зв'язаних, і відповідні кожній такій парі прості дроби в розкладанні (2) можуть бути об'єднані в речові прості дроби:

де тричлен x ² + px + q має комплексно-зв'язане коріння (4 q > p ² ).

  Для визначення коефіцієнтів>, j і D _j можна скористатися невизначених коефіцієнтів методом . Інтеграли від простих дробів

 і

немає Р. ф

,

а інтеграли від простих дробів

 і

при до > 1 є: перший — Р. ф., а другий — сумою Р. ф. і інтеграла такого ж вигляду, як при до = 1. Т. о., інтеграл від будь-якого Р. ф. (що не є многочленом) представляється у вигляді суми Р. ф., арктангенсів і логарифмічних функцій. М. Ст Остроградський дав метод алгебри визначення раціональної частини інтеграла від Р. ф., що не вимагає ні розкладання Р. ф. на прості дроби, ні інтеграції (див. Остроградського метод ).

  Р. ф. є вельми важливим класом елементарних функцій . Розглядаються також Р. ф. декілька змінних; вони виходять в результаті кінцевого числа арифметичних операцій над їх аргументами і довільними числами. Так,

дає приклад Р. ф. два змінних u і u .

  В середині 20 ст Р. ф. знайшли широке вживання в питаннях наближення функцій (див. Наближення і інтерполяція функцій ).