Невизначених коефіцієнтів метод, метод, вживаний в математиці для відшукання коефіцієнтів виразів, вигляд яких заздалегідь відомий. Так, наприклад, на підставі теоретичних міркувань дріб
може бути представлена у вигляді суми
де А, В і З — коефіцієнти, що підлягають визначенню. Щоб знайти їх, прирівнюють друге вираження першому:
і, звільняючись від знаменника і збираючи зліва члени з однаковими мірами х, отримують:
( А + В + З ) х 2 + ( В - З ) х - А = 3 x 2 - 1.
Оскільки остання рівність повинна виконуватися для всіх значень х, те коефіцієнти при однакових мірах х справа і зліва мають бути однаковими. Т. о., виходять три рівняння для визначення трьох невідомих коефіцієнтів: А + В + З = 3, В - З = 0, А = 1, звідки А = В = З = 1. Отже,
справедливість цієї рівності легко перевірити безпосередньо. Хай ще потрібно представити дріб
у вигляді
де А, В, З і D — невідомі раціональні коефіцієнти. Прирівнюємо друге вираження першому
або, звільняючись від знаменника, виносячи, де можна, раціональні множники з-під знаку коріння і приводячи подібні члени в лівій частині, отримуємо:
Але така рівність можлива лише у разі, коли рівні між собою раціональні доданки обох частин і коефіцієнти при однакових радикалах. Т. о., виходять чотири рівняння для знаходження невідомих коефіцієнтів А, В, З і D: А - 2 B + 3 C = 1 — А + В + 3 D = 1, A + C - 2 D = —1, В - З + D = 0, звідки A = 0, В = — 1 / 2 , З = 0, D = 1 / 2 , тобто
В наведених прикладах успіх Н. до. м. залежав від правильного вибору виразів, коефіцієнти яких відшукувалися. Якби в останньому прикладі замість вираження
було узято вираження
те, міркуючи, як і вище, отримали б для трьох коефіцієнтів А, В і З чотири рівняння А - 2 В + 3 З = 1, —a - B = 1, A + C = — 1, В - З = 0, яким не можна задовольнити жодним вибором чисел А, В і З .
Особливо важливі вживання Н. до. м. до завдань, в яких число невідомих коефіцієнтів безконечне. До них відносяться завдання ділення степових рядів, завдання знаходження вирішення диференціального рівняння у вигляді статечного ряду і ін. Хай, наприклад, потрібно знайти вирішення диференціального рівняння у" + ху = 0 таке що в = 0 і y'' = 1 при х = 0. З теорії диференціальних рівнянь виходить, що таке рішення існує і має вигляд статечного ряду
в = х + c 2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4 + c 5 x 5 + ×××.
Підставляючи цей вираз замість в в праву частину рівняння, а замість в " — вираження
2 з 2 + 3·2 с 3 х + 4·3 с 4 х 2 + 5·4с 5 х 3 + ×××,
потім, умножаючи на х і сполучаючи члени з однаковими мірами х, отримують
2 з 2 + 3·2 з 3 x + (1 + 4·3 з 4 ) x 2 + ( з 2 + 5·4 з 5 ) x 3 + ××× = 0,
звідки при визначенні невідомих коефіцієнтів виходить безконечна система рівнянь: 2 з 2 = 0; 3·2 з 3 = 0; 1 + 4·3 з 4 = 0; з 2 + 5·4 з 5 = 0;...
Вирішуючи послідовно ці рівняння,
тобто
Літ.: Смирнов Ст І., Курс вищої математики, т. 1, 23 видавництва, М., 1974; т. 2, 20 видавництво, М., 1967; Степанов Ст Ст, Курс диференціальних рівнянь, 8 видавництво, М., 1959.
