Наближення і інтерполяція функцій , розділ теорії функцій, присвячений вивченню питань наближеного представлення функцій.
Наближення функцій — знаходження для даної функції f функції g з деякого певного класу (наприклад, серед многочленів алгебри заданої міри), в тому або іншому сенсі близькою до f, що дає її наближену виставу. Існує багато різних варіантів завдання про наближення функцій залежно від того, які функції використовуються для наближення, як шукається функція g, що наближає, як розуміється близькість функцій f і g. Інтерполяція функцій — окремий випадок завдання наближення, коли потрібний, щоб в певних крапках (вузлах інтерполяції) збігалися значення функції f і функції g, що наближає її, а в загальнішому випадку — і значення деяких їх похідних.
Для оцінки близькості вихідної функції f і функції g , що наближає її, використовуються залежно від даного завдання метрики різних функціональних просторів. Звичайно це метрики просторів безперервних функцій З і функціями, інтегрованими з р- й мірою, L p , р ³ 1, в яких відстань між функціями f і g визначається (для функцій, заданих на відрізку [ а, b ]) по формулах
і
найчастіше зустрічається і добре вивченою є завдання про наближення функцій поліномами, тобто виразами вигляду
a до j до ( x ),
де (j 1 ..., j n —заданниє функції, а a 1 ..., a n — довільні числа. Звичайно це многочлени алгебри
a до x до
або тригонометричних поліномів
а 0 + ( a до cos kx + b до sin kx ) .
Розглядаються також поліноми по ортогональним многочленам, по власних функціях краєвих завдань і т.п. Іншим класичним засобом наближення є раціональні дроби P ( x ) /q ( x ) , де як Р і Q беруться многочлени алгебри заданої міри.
Останнім часом (60—70-і рр. 20 ст) значний розвиток отримало наближення т.з. сплайном-функціями (сплайнами). Характерним їх прикладом є кубічні сплайн-функції, визначувані таким чином. Відрізок [ а, b ] розбивається точками а = x 0 < x 1 < ... < x n = b, на кожному відрізку [ x до , x k+1 ] кубічна сплайн-функція є многочленом алгебри третьої міри, причому ці многочлени підібрані так, що на всьому відрізку [ а, b ] безперервні сама сплайн-функція і її перша і друга похідні. Параметри, що залишилися вільними, можуть бути використані, наприклад, для того, щоб сплайн-функція інтерполювала у вузлах x до функцію, що наближалася. Поліпшення наближення досягається за рахунок збільшення числа вузлів x до правильного їх розташування на відрізку [ а, b ] . сплайн-функції виявилися зручними в обчислювальній математиці, з їх допомогою удалося вирішити також деякі завдання теорії функцій.
Наближені представлення функцій, а також самі функції на основі їх наближених вистав вивчає теорія наближень функцій (уживаються також назви теорія апроксимації функцій і конструктивна теорія функцій). До теорії наближень функцій зазвичай відносять також завдання про наближення елементів в Банахових і загальних метричних просторах.
Теорія наближень функцій бере почало від робіт П. Л. Чебишева . Він ввів одне з основних понять теорії — поняття найкращого наближення функції поліномами і отримав ряд результатів про найкращі наближення. Найкращим наближенням безперервної функції f ( x ) поліномами a до j до ( x ) в метриці З називається величина
E n = min || f - a до j до ( x )|| з ,
де мінімум береться по всіх числах а 1 ..., a n . Поліном, для якого досягається цей мінімум, називається поліномом найкращого наближення (для інших метрик визначення аналогічні). Чебишев встановив, що найкраще наближення функції x n+1 на відрізку [—1, 1] в метриці З многочленами алгебри міри n рівне 1/2 n , а многочлен найкращого наближення такий, що для нього
x n+1 - = (1/2 n ) cos ( n + 1) arccos x .
Наступна теорема Чебишева вказує характеристичну властивість поліномів найкращого наближення в просторі безперервних функцій: многочлен алгебри, в тому і лише в тому разі є многочленом найкращого наближення безперервної функції f в метриці З [—1, 1], якщо існують n + 2 крапки -1 £ x 1 < x 2 <... < x n+2 £ 1, в яких різниця f ( x ) — 2прінімаєт максимальне значення свого модуля із знаками, що послідовно чергуються.
Одним з перших результатів теорії наближень є також теорема Вейерштраса, згідно якої кожну безперервну функцію можна наблизити в метриці З як завгодно добре многочленами алгебри досить високій мірі.
З початку 20 ст почалося систематичне дослідження поведінки при n ® ¥ послідовності E n — найкращих наближень функції f многочленами алгебри (або тригонометричними). З одного боку, з'ясовується швидкість прагнення до нуля величин E n залежно від властивостей функції (т.з. прямі теореми теорії наближень), а з іншої — вивчаються властивості функції по послідовності її найкращих наближень (зворотні теореми теорії наближень). У ряді важливих випадків тут отримана повна характеристика властивостей функцій. Приведемо дві такі теореми.
Для того, щоб функція f була аналітичною на відрізку (тобто в кожній точці цього відрізання представлялася статечним рядом, що рівномірно сходиться до неї в деякій околиці цієї крапки), необхідно і досить, щоб для послідовності її найкращих наближень многочленами алгебри виконувалася оцінка
E n £ Aq n ,
де q < 1 і А — деякі позитивні числа, не залежні від n (теорема С. Н. Бернштейна).
Для того, щоб функція f періоду 2p мала похідну порядку r, r = 0, 1,2..., що задовольняє умові
| f (r) ( x + h ) - f (r) ( x )| £ M| h | а ,
0 < а < 1, М-код — деяке позитивне число, або умові
| f (r) ( x + h ) - 2 f (r) ( x ) + f (r) ( x - h )| £ M| h | а
(в цьому випадку а = 1), необхідно і досить, щоб для найкращих наближень функції f тригонометричними поліномами була справедлива оцінка
Е п £ А/n r+ а ,
де А — деяке позитивне число, не залежне від n. В цьому твердженні пряма теорема була в основному отримана Д. Джексоном (США), а зворотна є результатом досліджень С. Н. Бернштейна, Ш. Же. Ла Валле Пуссена і А. Зігмунда (США). Характеристика подібних класів функцій, заданих на відрізку, в термінах найкращих наближенні многочленами алгебри виявилася неможливою. Її удалося отримати, залучаючи до розгляду наближення функцій з поліпшенням порядку наближення поблизу кінців відрізання.
Можливість характеризувати класи функцій за допомогою наближень їх поліномами знайшла додаток у ряді питань математичного аналізу. Розвиваючи дослідження по найкращих наближеннях функцій багатьох змінних поліномами, С. М. Никольський побудував теорію вкладень важливих для аналізу класів функцій багатьох змінних, що диференціювалися, в якій мають місце не лише прямі, але і що повністю обертають їх зворотні теореми.
Для наближень в метриці L 2 поліном найкращого наближення може бути легко побудований. Для інших просторів знаходження поліномів найкращого наближення є важким завданням і її удається вирішити лише в окремих випадках. Це привело до розробки різного роду алгоритмів для наближеного знаходження поліномів найкращого наближення.
Трудність знаходження поліномів найкращого наближення частково пояснюється тим, що оператор, що зіставляє кожній функції її поліном найкращого наближення, не є лінійним: поліном найкращого наближення для суми f + g не обов'язково рівний сумі поліномів найкращого наближення функцій f і g. Тому виникла завдання вивчення (по можливості простих) лінійних операторів, що зіставляють кожній функції поліном, що дає хороше наближення. Наприклад, для періодичної функції f ( x ) можна брати приватні суми її ряду Фурье S n ( f, х ) . При цьому справедлива оцінка (теорема А. Лебега )
|| f - S n || з £ ( L n + 1) E n ,
де L n — числа, зростаючі при n ® ¥ як (4/p 2 ) ln n . Вони отримали назву констант Лебега. Ця оцінка показує, що поліноми S n доставляють наближення що не дуже сильно відрізняється від найкращого. Подібна оцінка має місце і для наближень інтерполяційними тригонометричними поліномами з рівновіддаленими вузлами інтерполяції, а також для наближень інтерполяційними многочленами алгебри на відрізку [-1, 1] з вузлами , до = 1, 2..., n, тобто в нулях полінома Чебишева cos n arccos x. Для основних функцій, що зустрічаються в аналізі класів, відомі такі лінійні оператори, побудовані за допомогою рядів Фур'є або на основі інтерполяційних поліномів, що значеннями цих операторів є поліноми, що дають на класі той же порядок убування наближень при n ® ¥, що і найкращі наближення.
А. Н. Колмогоров почав вивчення нового питання теорії наближень — завдання про знаходження при фіксованому n такий системи функцій j 1 ..., j n , для якої найкращі наближення функцій заданого класу поліномами були б найменшими (т.з. завдання про поперечник класу функцій). У цьому напрямі надалі було з'ясовано, наприклад, що для ряду важливих класів періодичних функцій найкращими у вказаному сенсі системами є тригонометричні поліноми.
Теорія наближень функцій є одним з найбільш напрямів, що інтенсивно розробляються, в теорії функцій. Ідеї і методи теорії наближень є відправною точкою дослідження у ряді питань обчислювальної математики. З 1968 в США видається спеціалізований журнал «Journal of Approximation Theory».
Літ.: Монографії . Ахиезер Н. І., Лекції з теорії апроксимації, 2 видавництва, М., 1965; Гончарів Ст Л., Теорія інтерполяції і наближення функцій, 2 видавництва, М., 1954; Натансон І. П., Конструктивна теорія функцій, М. — Л., 1949; Никольський С. М., Наближення функцій багатьох змінних і теореми вкладення, М., 1969; Тіман А. Ф., Теорія наближення функцій дійсного змінного, М., 1960.
Огляди. Математика в СРСР за тридцять років. 1917—1947, М. — Л., 1948, с. 288—318; Математика в СРСР за сорок років. 1917—1957, т. 1, М., 1959, с. 295—379; Історія вітчизняної математики, т. 3, До., 1968, с. 568—588.
