Наближення функцій комплексного змінного
 
а б в г д е ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ъ ы ь э ю я
 

Наближення функцій комплексного змінного

Наближення функцій комплексного змінного, розділ комплексного аналізу, що вивчає питання наближеного представлення (апроксимації) функцій комплексного змінного за допомогою аналітичних функцій спеціальних класів. Центральна проблематика відноситься до наближення функцій поліномами і раціональними функціями. Основними є завдання про можливість наближення швидкості наближення і властивостях апроксимацій різних способів представлення функцій (інтерполяційних послідовностей і рядів, рядів по ортогональних поліномах і поліномах Фабера, розкладань в безперервні дроби і т.п.). Теорія наближень тісно пов'язана з ін. розділами комплексного аналізу (теорією конформних відображень, інтегральними виставами, теорією потенціалу і ін.); багато теорем, що формулюються в термінах теорії наближень, є, по істоті, глибокими результатами про властивості аналітичних функцій і природу аналітичної.

загрузка...

  Одним з перших результатів про поліноміальну апроксимацію є теорема Рунге, згідно якої будь-яка функція, голоморфна в одинзв'язної області плоскості комплексного змінного z, може бути рівномірно апроксимована на компактних підмножинах (див. Компактність ) цій області за допомогою поліномів від z. Загальне завдання про можливість рівномірного наближення поліномами ставиться так: для яких компакт-дисків До в комплексній плоскості будь-яка функція f, безперервна на До і голоморфна на безлічі внутрішніх точок До, допускає рівномірну апроксимацію на До (з будь-якою мірою точності) за допомогою поліномів від z. Необхідною і достатньою умовою можливості такої апроксимації є зв'язність доповнення компакт-диска До. Ця теорема для компакт-дисків без внутрішніх крапок була доведена М. А. Лаврентьевим (1934), для замкнутих областей — М. Ст Келдишем (1945) і в загальному випадку — С. Н. Мергеляном (1951).

  Пусть Е п = E n ( f, K ) найкраще наближення функції f на компакт-диску До за допомогою поліномів від z міри не вище n (у рівномірній метриці). Якщо До — компакт-диск із зв'язним доповненням і функція f    голоморфна на До, те послідовність { Е п } прагне до нуля швидше деякою геометричною прогресії: E n < q n , 0 < q = q  < 1 ( n > N ) . Якщо f    безперервна на До і голоморфна у внутрішніх точках До, те швидкість її поліноміальної апроксимації залежить як від властивостей f    на кордоні До (модуль безперервності, діфференцируємость), так і від геометричних властивостей кордону До.

  Інші напрями досліджень — рівномірні і найкращі наближення раціональними функціями, наближення цілими функціями, вагові наближення поліномами, наближення поліномами і раціональними функціями в інтегральних метриках. Велика увага приділяється проблематиці, зв'язаній з наближенням функцій декількох комплексних змінних.

  Літ.: Уолш Д.-Л., Інтерполяція і апроксимація раціональними функціями у комплексної області, пер.(переведення) з англ.(англійський), М-кодом,, 1961; Маркушевіч А. І., Теорія аналітичних функцій, т. 2, М., 1968; Смирнов Ст І.. Лебедев Н. А., Конструктивна теорія функцій комплексного змінного, М. — Л., 1964; Мергелян С. Н., Наближення функцій комплексного змінного. у кн.: Математика в СРСР за сорок років. 1917—1957, т. 1, М., 1959, с. 383-98; Гончар А. А., Мергелян С. Н., Теорія наближень функцій комплексного змінного, в кн.: Історія вітчизняної математики, т. 4, кн. 1, До,, 1970, с. 112—78.

  А. А. Гончар.