Наближення функцій комплексного змінного, розділ комплексного аналізу, що вивчає питання наближеного представлення (апроксимації) функцій комплексного змінного за допомогою аналітичних функцій спеціальних класів. Центральна проблематика відноситься до наближення функцій поліномами і раціональними функціями. Основними є завдання про можливість наближення швидкості наближення і властивостях апроксимацій різних способів представлення функцій (інтерполяційних послідовностей і рядів, рядів по ортогональних поліномах і поліномах Фабера, розкладань в безперервні дроби і т.п.). Теорія наближень тісно пов'язана з ін. розділами комплексного аналізу (теорією конформних відображень, інтегральними виставами, теорією потенціалу і ін.); багато теорем, що формулюються в термінах теорії наближень, є, по істоті, глибокими результатами про властивості аналітичних функцій і природу аналітичної.
Одним з перших результатів про поліноміальну апроксимацію є теорема Рунге, згідно якої будь-яка функція, голоморфна в одинзв'язної області плоскості комплексного змінного z, може бути рівномірно апроксимована на компактних підмножинах (див. Компактність ) цій області за допомогою поліномів від z. Загальне завдання про можливість рівномірного наближення поліномами ставиться так: для яких компакт-дисків До в комплексній плоскості будь-яка функція f, безперервна на До і голоморфна на безлічі внутрішніх точок До, допускає рівномірну апроксимацію на До (з будь-якою мірою точності) за допомогою поліномів від z. Необхідною і достатньою умовою можливості такої апроксимації є зв'язність доповнення компакт-диска До. Ця теорема для компакт-дисків без внутрішніх крапок була доведена М. А. Лаврентьевим (1934), для замкнутих областей — М. Ст Келдишем (1945) і в загальному випадку — С. Н. Мергеляном (1951).
Пусть Е п = E n ( f, K ) — найкраще наближення функції f на компакт-диску До за допомогою поліномів від z міри не вище n (у рівномірній метриці). Якщо До — компакт-диск із зв'язним доповненням і функція f голоморфна на До, те послідовність { Е п } прагне до нуля швидше деякою геометричною прогресії: E n < q n , 0 < q = q < 1 ( n > N ) . Якщо f безперервна на До і голоморфна у внутрішніх точках До, те швидкість її поліноміальної апроксимації залежить як від властивостей f на кордоні До (модуль безперервності, діфференцируємость), так і від геометричних властивостей кордону До.
Інші напрями досліджень — рівномірні і найкращі наближення раціональними функціями, наближення цілими функціями, вагові наближення поліномами, наближення поліномами і раціональними функціями в інтегральних метриках. Велика увага приділяється проблематиці, зв'язаній з наближенням функцій декількох комплексних змінних.
Літ.: Уолш Д.-Л., Інтерполяція і апроксимація раціональними функціями у комплексної області, пер.(переведення) з англ.(англійський), М-кодом,, 1961; Маркушевіч А. І., Теорія аналітичних функцій, т. 2, М., 1968; Смирнов Ст І.. Лебедев Н. А., Конструктивна теорія функцій комплексного змінного, М. — Л., 1964; Мергелян С. Н., Наближення функцій комплексного змінного. у кн.: Математика в СРСР за сорок років. 1917—1957, т. 1, М., 1959, с. 383-98; Гончар А. А., Мергелян С. Н., Теорія наближень функцій комплексного змінного, в кн.: Історія вітчизняної математики, т. 4, кн. 1, До,, 1970, с. 112—78.
