Наближене вирішення диференціальних рівнянь, здобуття аналітичних виразів (формул) або чисельних значень, що наближають з тією або іншою мірою точності шукане приватне вирішення диференціального рівняння.
П. р. диференціальних рівнянь у вигляді аналітичного вираження може бути знайдене методом рядів (статечних, тригонометричних і ін.), методом малого параметра, послідовних наближень методом, Рітца і Галеркіну методами, Чаплигина методом . Кожен з цих методів визначає один або декілька безконечних процесів, за допомогою яких при виконанні певних умов можна отримати точне рішення задачі. Для здобуття П. р. зупиняються на деякому кроці процесу.
Якщо рішення шукається у вигляді безконечного ряду, то за П. р. приймають кінцевий відрізок ряду. Наприклад, хай потрібно знайти вирішення диференціального рівняння y'' = f ( x, в ) , що задовольняє початковим умовам в ( х 0 ) = y 0 , причому відомо, що f ( x, в ) — аналітична функція х, в в деякій околиці точки ( х 0 , y 0 ) . Тоді рішення можна шукати у вигляді статечного ряду:
в ( x ) - в ( x 0 ) = .
Коефіцієнти A до ряду можуть бути знайдені або по формулах:
A 1 = y’ 0 = f ( x 0 , y 0 ) ;
або за допомогою невизначених коефіцієнтів методу . Метод рядів дозволяє знаходити рішення лише при малих значеннях величини х — х 0 .
Часто (наприклад, при вивченні періодичних рухів в небесній механіці і теорії коливань) зустрічається випадок, коли рівняння складається з членів двоякого вигляду: головних і другорядних, причому другорядні члени характеризуються наявністю в них малих постійних множників. Зазвичай після відкидання другорядних членів виходить рівняння, що допускає точне рішення. Тоді вирішення основного рівняння можна шукати у вигляді ряду, першим членом якого є вирішення рівняння без другорядних членів, а останні члени ряду розташовані по мірах малих постійних величин, що входять в другорядні члени (малих параметрів). При цьому рівняння для коефіцієнтів при мірах малих параметрів лінійні, що полегшує їх рішення. В ролі малого параметра інколи виступають початкові значення (наприклад, при вивченні коливань біля положення рівноваги). Метод малого параметра був використаний при рішенні задачі про обурений рух в небесній механіці Л. Ейлером і П. Лапласом . Теоретичне обгрунтування цього методу дали А. М. Ляпунов і А. Пумнкаре .
До чисельних методам відносяться методи, що дозволяють знаходити П. р. при деяких значеннях аргументу (тобто отримувати таблицю наближених значень шуканого рішення), користуючись відомими значеннями рішення в одній або декількох крапках. Такими методами є, наприклад, метод Ейлера, метод Рунге і цілий ряд різницевих методів.
Пояснимо ці методи на прикладі рівняння
в’ ’ = f ( x, в )
з початковою умовою в ( х 0 ) = y 0 . Хай точне вирішення цього рівняння представлене в деякій околиці точки х 0 у вигляді ряду по мірах h = х — х 0 Основною характеристикою точності формул П. р. диференціальних рівнянь є вимога, щоб перші до членів розкладання в ряд по мірам h П. р. збігалися з першими до членами розкладання в ряд по мірах h точного рішення.
Основна ідея методу Ейлера полягає у вживанні методу рядів для обчислення наближених значень вирішення в ( х ) в точках x 1 , x 2 ..., x n деякого фіксованого відрізання [ х 0 , b ] Так, для того, щоб обчислити ( х 1 ) , де х 1 = х 0 + h, h = ( b — x 0 ) /n, представляють в ( х 1 ) у вигляді кінцевого числа членів ряду по мірах h = х 1 — х 0 . Наприклад, обмежуючись першими двома членами ряду, отримують для обчислення в ( xk ) формули:
,
Це т.з. метод ламаних Ейлера (на кожному відрізку [ xk, x k+1 ] інтегральна крива замінюється прямолінійним відрізком — ланкою ламаної Ейлера). Погрішність методу пропорційна h 2 .
В методі Рунге замість того, щоб відшукувати похідні, знаходять таку комбінацію значень f ( x, в ) в деяких крапках, яка дає з певною точністю декілька перших членів статечного ряду для точного вирішення рівняння. Наприклад, права частина формули Рунге:
,
де
;
;
;
дає перших п'ять членів статечного ряду з точністю до величин порядку h 5 .
В різницевих формулах П. р. удається кілька разів використовувати вже обчислені значення правої частини. Рішення шукається у вигляді лінійної комбінації в ( xi ), h i і різниць D i h j , де
h j = hf ( x j , y j ); Dh j = h j+1 - h j ;
D i h j = D i-1 h j+1 - D i-1 h j .
Прикладом різницевої формули П. р. є екстраполяційна формула Адамса. Так, формула Адамса, що враховує «різниці» 3-го порядку:
дає вирішення в ( х ) в точці x до з точністю до величин порядку h 4 .
Для рівнянь 2-го порядку можна отримати формули чисельної інтеграції шляхом двократного вживання
Формула
до = 2
до = 3
до = 4
(1 + x ) 3 » 1 + 3 x
0,04
0,012
0,004
0,06
0,022
0,007
0,19
0,062
0,020
0,20
0,065
0,021
0,31 (17°48'')
0,144 (8°15'')
0,067 (3°50'')
0,10 (5°43'')
0,031 (l''48'')
0,010 (0°34'')
0,25 (14°8'')
0,112 (6°25'')
0,053 (3°2'')
0,14
0,47
0,015
0,04
0,014
0,004
0,25
0,119
0,055
формули Адамса. Норвезький математик К. Стермер отримав формулу:
особливо зручну для вирішення рівнянь вигляду у'''' = f ( x, в ) . По цій формулі знаходять D 2 y n-1 , а потім y n+1 = y n +D y n+ 1 + D 2 y n-1 . Знайшовши y n+1 , обчислюють y’’ n+1 = f ( x n+1 , y n+1 ), знаходять різниці і повторюють процес далі.
Вказані вище чисельні методи поширюються і на системи диференціальних рівнянь.
Значення чисельних методів вирішення диференціальних рівнянь особливо зросло з поширенням ЕОМ(електронна обчислювальна машина).
Окрім аналітичних і чисельних методів, для П. р. диференціальних рівнянь застосовуються графічні методи. У простому з них будують поле напрямів, визначуване диференціальним рівнянням, тобто в деяких крапках малюють напрями дотичній до інтегральної кривої, що проходить через цю крапку. Потім проводять криву так, щоб дотичні до неї мали напрями поля (див. Графічні обчислення ).
Літ.: Березін І. С., Жідков Н. П., Методи обчислень, 2 видавництва, т. 2, М.. 1962; Хвальків Н. С., Чисельні методи, М., 1973: Коллатц Л., Чисельні методи вирішення диференціальних рівнянь, пер.(переведення) з йому.(німецький), М., 1953; Мілн Ст Е., Чисельне вирішення диференціальних рівнянь, пер, з англ.(англійський), М., 1955.
