Приближенное решение

Приближённое решение дифференциальных уравнений, получение аналитических выражений (формул) или численных значений, приближающих с той или иной степенью точности искомое частное решение дифференциального уравнения.

  П. р. дифференциальных уравнений в виде аналитического выражения может быть найдено методом рядов (степенных, тригонометрических и др.), методом малого параметра, последовательных приближений методом, Ритца и Галёркина методами, Чаплыгина методом. Каждый из этих методов определяет один или несколько бесконечных процессов, с помощью которых при выполнении определённых условий можно получить точное решение задачи. Для получения П. р. останавливаются на некотором шаге процесса.

  Если решение ищется в виде бесконечного ряда, то за П. р. принимают конечный отрезок ряда. Например, пусть требуется найти решение дифференциального уравнения y' = f (x, у), удовлетворяющее начальным условиям у (х₀) = y₀, причём известно, что f (x, у) — аналитическая функция х, у в некоторой окрестности точки (х₀, y₀). Тогда решение можно искать в виде степенного ряда:

y (x) - y (x₀) = .

  Коэффициенты A_k ряда могут быть найдены либо по формулам:

A₁ = y’₀ = f (x₀, y₀);

либо с помощью неопределенных коэффициентов метода. Метод рядов позволяет находить решение лишь при малых значениях величины х — х₀.

  Часто (например, при изучении периодических движений в небесной механике и теории колебаний) встречается случай, когда уравнение состоит из членов двоякого вида: главных и второстепенных, причём второстепенные члены характеризуются наличием в них малых постоянных множителей. Обычно после отбрасывания второстепенных членов получается уравнение, допускающее точное решение. Тогда решение основного уравнения можно искать в виде ряда, первым членом которого является решение уравнения без второстепенных членов, а остальные члены ряда расположены по степеням малых постоянных величин, входящих во второстепенные члены (малых параметров). При этом уравнения для коэффициентов при степенях малых параметров линейны, что облегчает их решение. В роли малого параметра иногда выступают начальные значения (например, при изучении колебаний около положения равновесия). Метод малого параметра был использован при решении задачи о возмущённом движении в небесной механике Л. Эйлером и П. Лапласом. Теоретическое обоснование этого метода дали А. М. Ляпунов и А. Пуанкаре.

  К численным методам относятся методы, позволяющие находить П. р. при некоторых значениях аргумента (т. е. получать таблицу приближённых значений искомого решения), пользуясь известными значениями решения в одной или нескольких точках. Такими методами являются, например, метод Эйлера, метод Рунге и целый ряд разностных методов.

  Поясним эти методы на примере уравнения

y’’ = f (x, у)

с начальным условием у (х₀) = y₀. Пусть точное решение этого уравнения представлено в некоторой окрестности точки х₀ в виде ряда по степеням h = х — х₀ Основной характеристикой точности формул П. р. дифференциальных уравнений является требование, чтобы первые k членов разложения в ряд по степеням h П. р. совпадали с первыми k членами разложения в ряд по степеням h точного решения.

  Основная идея метода Эйлера заключается в применении метода рядов для вычисления приближённых значений решения у (х) в точках x₁, x₂,..., x_n некоторого фиксированного отрезка [х₀, b] Так, для того чтобы вычислить у (х₁), где х₁ = х₀ + h, h = (b — x₀)/n, представляют у (х₁) в виде конечного числа членов ряда по степеням h = х₁ — х₀. Например, ограничиваясь первыми двумя членами ряда, получают для вычисления у (xk) формулы:

,

Это т. н. метод ломаных Эйлера (на каждом отрезке [xk_, x_k+1] интегральная кривая заменяется прямолинейным отрезком — звеном ломаной Эйлера). Погрешность метода пропорциональна h².

  В методе Рунге вместо того, чтобы отыскивать производные, находят такую комбинацию значений f (x, у) в некоторых точках, которая даёт с определённой точностью несколько первых членов степенного ряда для точного решения уравнения. Например, правая часть формулы Рунге:

,

где

;

;

;

дает первые пять членов степенного ряда с точностью до величин порядка h⁵.

  В разностных формулах П. р. удаётся несколько раз использовать уже вычисленные значения правой части. Решение ищется в виде линейной комбинации у (xi), h_i и разностей Dⁱh_j, где

h_j = hf (x_j, y_j); Dh_j = h_j+1 - h_j;

Dⁱh_j = D^i-1h_j+1 - D^i-1h_j.

  Примером разностной формулы П. р. является экстраполяционная формула Адамса. Так, формула Адамса, учитывающая «разности» 3-го порядка:

даёт решение у (х) в точке x_k с точностью до величин порядка h⁴.

  Для уравнений 2-го порядка можно получить формулы численного интегрирования путём двукратного применения

формулы Адамса. Норвежский математик К. Стёрмер получил формулу:

особенно удобную для решения уравнений вида у'' = f (x, у). По этой формуле находят D²y_n-1, а затем y_n+1 = y_n +Dy_n+1 + D²y_n-1. Найдя y_n+1, вычисляют y’’_n+1 = f (x_n+1, y_n+1), находят разности и повторяют процесс далее.

  Указанные выше численные методы распространяются и на системы дифференциальных уравнений.

  Значение численных методов решения дифференциальных уравнений особенно возросло с распространением ЭВМ(электронная вычислительная машина).

  Кроме аналитических и численных методов, для П. р. дифференциальных уравнений применяются графические методы. В простейшем из них строят поле направлений, определяемое дифференциальным уравнением, т. е. в некоторых точках рисуют направления касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Затем проводят кривую так, чтобы касательные к ней имели направления поля (см. Графические вычисления).

  Лит.: Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычислений, 2 изд., т. 2, М.. 1962; Бахвалов Н. С., Численные методы, М., 1973: Коллатц Л., Численные методы решения дифференциальных уравнений, пер.(перевод) с нем.(немецкий), М., 1953; Милн В. Э., Численное решение дифференциальных уравнений, пер, с англ.(английский), М., 1955.