Графічні обчислення, методи здобуття чисельних вирішень різних завдань шляхом графічних побудов. Р. ст (графічне множення, графічне вирішення рівнянь, графічна інтеграція і т. д.) представляють систему побудов, що повторюють або замінюючих з відомим наближенням відповідні аналітичні операції. Графічне виконання цих операцій вимагає кожного разу послідовності побудов, що приводять в результаті до графічному визначенню шуканої величини. При Р. ст використовуються графіки функцій. Р. ст знаходять вживання в додатках математики. Гідності Р. ст — простота їх виконання і наочність. Недолік — мала точність отримуваних відповідей. Проте у великому числі завдань, особливо в інженерній практиці, точність Р. ст сповна достатня. Графічні методи з успіхом можуть бути використані для здобуття перших наближенні, уточнюваних потім аналітично. Інколи Р. ст називаються обчислення, вироблювані за допомогою номограм. Це не зовсім правильно, оскільки номограми є геометричними зображеннями функціональних залежностей і не вимагають для знаходження чисельних значень функції яких-небудь побудов (див. Номографія ).
Обчислення алгебри виразів . Числа при Р. ст зазвичай зображаються направленими відрізками на прямій. Для цього вибирають одиничний відрізок (довжина його називається масштабом побудови). Один з напрямів на прямій приймають за позитивне. У цьому напрямі відкладають відрізки, що змальовують позитивні числа; негативні числа зображаються відрізками, що мають протилежний напрям. На мал. 1 показані відрізки M 0 M , A 0 A і B 0 B , відповідні числам 1, 3 і —4 (позитивний напрям тут зліва направо).
Для знаходження суми чисел відповідні ним відрізки відкладають на прямій один за іншим так, щоб почало наступного збігалося з кінцем попереднього. Відрізок, початком якого є початок першого відрізання і кінцем — кінець останнього, змальовуватиме суму. Різницю чисел знаходять, будуючи суму відрізання, що змальовує перше число, і відрізання, що змальовує число, протилежне другому.
Множення і ділення здійснюють побудовою пропорційних відрізань, які відсікають на сторонах кута паралельні прямі ( MA і BC на мал. 2 ). Такі побудовані відрізки 1, а , би і з , довжини яких задовольняють співвідношенню а : 1 = з : b , звідки з = аb або b = с/а ; отже, знаючи два з трьох відрізань а , b і з , завжди можна знайти третій, тобто можна побудувати твір або приватне двох чисел. При цій побудові одиничні відрізки на прямих OB і OC можуть бути різними.
Комбінуючи дії множення і складання, графічно обчислюють суми творів вигляду
а 1 x 1 + а 2 x 2 + ... + а n x n
і зважене середнє
( а 1 x 1 + ... + а n x n )/( а 1 + ... + а 2 ).
Графічне зведення в цілу міра полягає в послідовному повторенні множення.
Побудова значень многочлена
f ( x ) = а 0 x n + а 1 x n-1 + ... + а n-1 x + а n
засноване на представленні його у вигляді
f ( x ) = {[( а 0 x + а 1 ) х + а 2 ] х + ...} х + а n
і послідовному графічному виконанні дій, починаючи з вираження, ув'язненого у внутрішні дужки.
Графічне вирішення рівняння f ( x ) = 0 полягає у викреслюванні графіка функції в = f ( x ) і знаходженні абсцис точок пересічення кривої з віссю Ox , які і дають значення коріння рівняння. Інколи рішення можна значно спростити, якщо представити рівняння у вигляді j 1 ( x ) = j 2 ( x ) і викреслити криві в = j 1 ( x ) і в = j 2 ( x ). Корінням рівняння будуть значення абсцис точок пересічення цих кривих (на мал. 3 показано знаходження кореня x 0 ).
Так, для вирішення рівняння третьої міри z 3 + az 2 + bz + з = 0 його приводять до вигляду x 3 + px + q = 0 заміною z = х — а /3, потім рівняння представляють у вигляді x 3 = — px — q і викреслюють криву в = х 3 і пряму в =— px — q . Точки їх пересічення визначає коріння x 1 , x 2 , x 3 рівняння. Побудова зручна тим, що кубічна парабола в = х 3 залишається одній і тій же для всіх рівнянь третьої міри. На мал. 4 вирішено рівняння x 3 — 2,67 x — 1 = 0. Його коріння x 1 = —1,40, x 2 = — 0,40, x 3 = 1,80. Аналогічно вирішується рівняння четвертої міри z 4 + az 3 + bz 2 + cz + d = 0. Підстановкою z = x — а /4 його приводять до вигляду x 4 + px 3 + qx + s = 0 і потім переходять до системи рівнянь: в = х 2 , ( х – х 0 ) 2 + ( в — в 0 ) 2 = r 2 , вводячи змінне в . Тут x 0 = —q /2, в 0 = (1 – р )/2 і Перше рівняння дає на плоскості параболу, одну і ту ж для всіх рівнянь четвертої міри, друге — коло радіусу г , координати центру x 0 , в 0 якою легко підрахувати по коефіцієнту даного рівняння. На мал. 5 вирішено рівняння x 4 — 2,6 x 2 — 0,8 х — 0,6 = 0 (для нього x 0 = 0,4; в 0 = 1,8, r = 2). Його коріння x 1 = — 1,55, x 2 = 1,80. Як видно з мал. , рівняння ін. дійсного коріння не має.
Графічна інтеграція. Обчислення певного інтеграла засноване на заміні графіка підінтегральній функції в = f ( x ) ступінчастою ламаною. На мал. 6 змальована криволінійна трапеція aabb , площа якої чисельно дорівнює обчислюваному інтегралу. Для побудови ламаної криволінійну трапецію розрізають прямими, паралельними осі Оу , на ряд смуг — елементарних криволінійних трапецій. У кожній з них відрізок кривої замінюють відрізком, паралельним осі Ox , так, щоб прямокутники, що виходять, мали приблизно ту ж площу, що і відповідні елементарні криволінійні трапеції (ламана змальована на мал. 6 жирною лінією). Площа, обмежена ламаною, дорівнює сумі площ побудованих прямокутників, тобто D x до — довжина підстави k- гo прямокутника, в до — одне із значень функції в = f ( x ) на відрізку D x до , рівне висоті прямокутника. Цей вираз приймають за наближене значення інтеграла Суму обчислюють графічно так, як вже було вказано. На мал. 7 виконані всі побудови, необхідні для обчислення інтеграла де функція в = f ( x ) задана графіком AC 0 ... C 4 B . Після розбиття криволінійної трапеції на частини прямими, такими, що проходять через точки A 1 ..., A 4 , побудовані прямокутники. Висоти їх, ординати точок C 0 ..., C 4 , знесені на вісь Оу . Отримані точки P 0 , ..., P 4 сполучені з точкою Р ( OP = 1). Потім, починаючи від точки а , побудована ламана ab 1 ... B 5 , ланки якої паралельні відповідним відрізкам PP 0 , PP 1 ..., PP 4 . Величина інтеграла чисельно дорівнює ординаті точки B 5 . Для побудови графіка первісній функції в = f ( x ), тобто досить з'єднати плавної кривої вершини ламаною, отримуваною при обчисленні (на мал. 7 точки B 0 , B 1 ..., B 5 ).
Графічне диференціювання . Графік похідної можна будувати по значеннях тангенса кута нахилу дотичної до графіка даної функції в різних його крапках. Точність такої побудови мала із-за великих погрішностей при визначенні напрямів дотичних. Графік похідної будують також по січних, повторюючи в зворотному порядку процес графічної інтеграції, змальований на мал. 7 . Для цього графік функції ( мал. 8 ) розбивають на частини прямими, паралельними осі Оу і проведеними через рівні відстані D x. Через точки ділення A 1 , A 2 ... проводять відрізки AB 1 , A 2 B 2 ., паралельні осі Ox . Відрізки B 1 A 1 , B 2 A 2 ... дорівнюють відповідним приростам функції. Їх відкладають від осі Ox . По отриманих крапках будують ступінчасту ламану. Потім проводять криву, стежачи за тим, щоб криволінійні трикутники в межах одного рівня ламаною мали рівні площі. Ета крива і є графіком похідної.
Графічна інтеграція диференціальних рівнянь. Диференціальне рівняння першого порядку dy / dx = f ( x , в ) визначає на плоскості поле напрямів. Завдання інтеграції рівняння полягає в проведенні кривих дотичні до яких мають напрями поля. Різні прийоми графічної інтеграції полягають в послідовній побудові інтегральних кривих по дотичних, напрями яких задані, і певною мірою повторюють чисельні методи інтеграції (див. Наближене вирішення диференціальних рівнянь).
Літ.: Головінін Д. Н., Графічна математика, М. — Л., 1931; Рунге До., Графічні методи математичних обчислень, пер.(переведення) з йому.(німецький), М. — Л., 1932.
