Номографія (від греч.(грецький) nómos — закон і ...графія ), розділ математики, об'єднуючий теорію і практичні методи побудови номограм, — спеціальних креслень, функціональних залежностей, що є зображеннями. Особливість номограм полягає в тому, що кожне креслення змальовує задану область зміни змінних і кожне із значень змінних в цій області змальовано на номограмі певним геометричним елементом (крапкою або лінією); зображення значення змінних, зв'язаних функціональною залежністю, знаходяться на номограмі в певній відповідності, загальній для номограм одного і того ж типа.
На мал. 1 наведений приклад номограми для обчислення a в — одного з кутів установки різця на заточном верстаті по заданих значеннях кутів різця а і j Залежність між цими величинами визначається формулою:
.
Номограма складається з трьох шкал: шкали кутів a в шкали кутів а і шкали кутів j. Крапки кожною з шкал є зображеннями значення відповідного змінного. Номограма побудована так, що три крапки, значення a, що змальовують відповідно, в , а і j, зв'язані даною залежністю, завжди лежать на одній прямій. Звідси безпосередньо витікає спосіб обчислення по номограмі: для обчислення a в треба на шкалах а і j знайти крапки, відповідні даним значенням а і j, і через них провести пряму. Ета пряма пройдет на шкалі a в через крапку, відповідну шуканому значенню a в . На номограмі пунктирна лінія сполучає точки шкал а і j із значеннями а = 7,5° і j = 4°; номограма дає відповідь a в = 62°.
Номограми і їх класифікація . Номограми розрізняють за способом зображення змінних і за способом завдання відповідності між зображеннями змінних.
Зображення змінних. Значення змінних змальовують на номограмах або крапками, або лініями. Значення змінного, приписаного крапці (лінії), називається позначкою крапки (лінії), а сама крапка (лінія) називається поміченою крапкою (лінією). Область зміни змінного зображається на номограмі або сукупністю помічених крапок, яка називається шкалою змінного або однопараметричним сімейством помічених ліній. Для знаходження на шкалі крапок по їх позначках і значень позначок по заданих точках шкали градуюються системою штрихів, вказуючих на окремі точки шкали. В деяких штрихів надписуються значення позначок крапок. Відповідність між крапками шкали, не відміченими штрихами і їх позначками, встановлюється лінійною інтерполяцією, яка виконується на номограмі на око. У сімействі ліній проводять також лише окремі лінії, останні знаходять інтерполяцією. При зображенні значень змінних крапками, поряд з шкалами, в номограмах застосовують бінарні поля. Бінарне поле є зображенням області зміни два змінних і складається з крапок, кожною з яких поставлена у відповідність пари чисел — приписано дві позначки: позначка першого змінного і позначка другого змінного. Точки бінарного поля заповнюють двовимірну область. У бінарному полі змінних і і v проводять два сімейства ліній u = const і n = const, які дозволяють по даних позначках знаходити крапку в полі і по точці поля її позначки (на мал. 3 це — вертикальні прямі h і криві j). У потрібних випадках тут також застосовують лінійну інтерполяцію.
Класифікація номограм. Найбільш поширені наступні номограми: з крапок, що вирівнюються, сітчасті і транспаранти; для рівняння з двома змінними застосовують подвійні шкали.
Подвійна шкала є простим виглядом номограми. Для рівняння F ( u , n ) = 0 вона складається з поєднаних шкал змінних u і n . Шкали побудовані так, що їх крапки, позначки яких задовольняють рівнянню, збігаються. На мал. 2 приведений приклад подвійної шкали для обчислення логарифмів: u = lg n .
Номограма з точок рівняння F , що вирівнюються ( u , n , w ) = 0 складається з трьох шкал змінних u , n і w , що змальовують відповідно область зміни цих змінних. Шкали номограми побудовані так, що три крапки, позначки яких задовольняють рівнянню, лежать на одній прямій (звідси і назва номограми; приклад номограми з крапок, що вирівнюються, наведений на мал. 1 ). Номограма з крапок, що вирівнюються, з бінарним полем рівняння F ( u , n , w , t ) = 0 з чотирма змінними складається з шкал змінних u і n і бінарного поля змінних w і t . Шкали і поле номограми побудовані так, що дві крапки з позначками u і n на шкалах і точка поля з подвійною позначкою ( w , t ) лежать на одній прямій, якщо значення змінних u , n , w і t задовольняють рівнянню.
Номограма з двома шкалами і бінарним полем приведена на мал.(малюнок) 3. Вона служить для обчислення площі S равнобочной трапеції по довжині b меншої її підстави, висоті h і куту j між великою підставою і бічною стороною:
S = bh + h 2 ctg j.
Номограма складається з шкали S , шкали b і поля (j, h ). Для знаходження S треба за даними h і j знайти крапку в полі, по даному b — крапку на шкалі і провести через ці крапки пряму. Позначка точки пересічення прямої з шкалою S дає відповідь. На малюнку показаний пунктиром приклад, коли h = 8, j = 60° і b = 8; відповідь: S = 100.
Номограма з крапок, що вирівнюються, може містити і два і три бінарні поля, тобто одним додатком лінійки давати вирішення рівняння і з п'ятьма і з шістьма змінними.
Сітчаста номограма рівняння F ( u , n , w ) = 0 з трьома змінними u , n і w складається з трьох сімейств помічених ліній, що змальовують відповідно дані області зміни цих змінних. Лінії сімейств побудовані так, що кожні три лінії, позначки яких задовольняють рівнянню, перетинаються в одній крапці. На мал. 4 наведений приклад сітчастої номограми для визначення необхідної реактивної потужності до на1 квт навантаження електріч. установки для підвищення її cos j від cos j 1 до cos j 2
до = tg j 1 — tg j 2 .
Вона складається з сімейства прямих, помічених значеннями того, що існує cos j 1 , сімейства прямих, помічених значеннями до , і сімейства кривих, помічених значеннями шуканого cos j 2 . Для обчислення величини до за даними cos j 1 і cos j 2 треба знайти на номограмі відповідні лінії і точку їх пересічення. Позначка лінії сімейства до , що проходить через цю крапку, дасть відповідь [так, для cos j 1 = 0,8, cos j 2 = 0,95 («відставання») знаходимо до = 0,4].
При побудові сітчастих номограм може бути поставлена додаткове завдання: знайти таке перетворення, при якому всі три сімейства ліній номограми звертаються в сімейства прямих, що спрощує її викреслювання. Таке завдання носить назва анаморфози і еквівалентна завданню побудови для даного рівняння номограми з крапок, що вирівнюються, оскільки за допомогою корелятивного перетворення сітчасту номограму з прямих можна перевести в номограму з крапок, що вирівнюються, з трьома шкалами. Для побудови сітчастих номограм з прямих ліній застосовуються т.з. функціональні сітки. Функціональна сітка є системою координатних ліній ( u , n ) (часто виготовлену друкарським способом), що мають в декартових координатах рівняння:
х = j 1 ( u ), в = j 2 ( n ).
Простими функціональними сітками є логарифмічний і напівлогарифмічний папір (див. Логарифмічний папір ). Існують також: сітка, на якій відрізками прямих зображаються частини синусоїди; сітка для зображення нормального закону розподілу вірогідності прямою лінією (див. Імовірнісний папір ) і т.п. Функціональні сітки застосовуються і при побудові сітчастих номограм, коли лінії третього сімейства — криві, але виглядають на сітці простіше або наочніше, ніж в декартовій системі координат.
номограма Транспаранта в простому випадку складається з двох плоскості — основної плоскості і транспаранта із зображеннями на них змінних у вигляді шкал, бінарних полів або сімейств помічених ліній; основна плоскість і транспарант можуть також містити непомічені («німі») лінії і крапки. Номограма побудована так, що елементи, помічені значеннями, що задовольняють рівнянню, а також «німі» елементи номограми при накладенні транспаранта на основну плоскість повинні в певній послідовності вступати в контакти. Контактом двох елементів називається приналежність їх одного іншому (крапка лежить на лінії, пряма стосується лінії і т.д.). Для практичного здійснення необхідних контактів в потрібних випадках транспарант роблять з прозорого матеріалу.
На мал. 5 показана номограма транспаранта для обчислення температури t суміші двох рідин з однаковою теплоємністю по формулі:
,
де m 1 — маса з температурою t 1 , m 2 — маса з температурою t 2 . Номограма складається з сімейства паралельних прямих на основній плоскості номограми і шкали на транспаранті, оформленому у вигляді лінійки. Прямі мають позначки m 1 — ліворуч від середньої прямої з позначкою 0 (на мал. 5 вона виділена), і позначки m 2 — вправо від середньої прямої. Шкала транспаранта є одночасно шкалою змінних t 1 , t 2 і t . Для обчислення по номограмі накладають транспарант на основну плоскість так, щоб крапки, відповідні даним m 1 і m 2 , виявилися на прямих, відповідних даним t 2 і t 1 , тобто тут здійснюється контакт між точкою t 2 і прямій m 1 і між точкою t 1 і прямій t 2 . Відповіддю буде позначка точки пересічення шкали t з прямою, що має позначку 0. В даному випадку ця пряма грає роль «німого» елементу номограми, вступаючого в контакт з крапкою у відповідь шкали. На мал. 5 вирішений приклад, коли m 1 = 8 кг, t 1 = 52°, m 2 = 10 кг, t 2 = 16°; відповідь: t = 32°.
Прикладом номограми транспаранта, транспарант якої має лише поступат. рух, є логарифмічна лінійка.
Складені номограми. Для рівнянь з багатьма змінними застосовують складені номограми, що представляють систему отд.(окремий) номограм, зв'язаних загальними шкалами або сімействами ліній. Зазвичай елементами складених номограм є номограми з крапок, що вирівнюються, і сітчасті номограми.
Погрішності обчислень по номограмах . Виконання обчислень по номограмах супроводиться погрішностями, які є наслідком неможливості (в процесі обчислення) точного здійснення необхідної відповідності між елементами номограми.
Точність обчислення по номограмах істотно залежить від акуратності виконання необхідних операцій. При обчисленні по номограмах з крапок, що вирівнюються, слід застосовувати прозору лінійку з подовжньою візирною межею.
Можливість представлення рівнянь номограмами . Номограми розділяються на точні і наближені.
Номограма даної функціональної залежності називається точною, якщо обумовлене її типом відповідність між зображеннями змінних (у припущенні точного здійснення) встановлює між змінними залежність, співпадаючу з даною.
Умови точного номографірованія накладають певні обмеження на вигляд рівнянь, для яких можна побудувати номограми.
Умови, якою повинно задовольняти рівняння, для того, щоб можна було побудувати його номограму, називаються умовами номографіруємості. При побудові номограм номографіруємоє рівняння перетвориться в одну з т.з. канонічних форм, для яких відомі в загальному вигляді рівняння шкал, полів, сімейств ліній відповідної номограми.
При побудові складених номограм додатково необхідне представлення даного рівняння з багатьма змінними у вигляді системи рівнянь з меншим числом змінних — т.з. розділення змінних (це досягається введенням допоміжних параметрів).
Номограма даної функціональної залежності називається наближеною, якщо обумовлене типом номограми відповідність між її елементами (у припущенні точного його здійснення) встановлює між змінними залежність, приблизно представляючу дану. Створений ряд способів побудови наближених номограм в основному типа з крапок, що вирівнюються.
На мал. 6 змальована наближена номограма інтегрального закону Стьюдента розподілу вірогідності:
.
Погрішність у визначенні t за рахунок наближеного номографірованія в даної області зміни змінних а , до і t не перевищує ± 0,001.
Наближені номограми застосовують тоді, коли точні номограми неможливі або коли точні номограми мають невдалу форму і дають велику погрішність відповідає.
Історична довідка . Геометричні зображення залежностей між змінними, ізбавляющие від обчислень, відомі давно. До них можна віднести досить складні побудови, що містять сімейства ліній і шкали як зображення змінні (що зустрічаються, наприклад, в сонячному годиннику і астролябіях ). Розробка теорії номографічних побудов почалася в 19 ст Першою була створена теорія побудови прямолінійних сітчастих номограм (французький математик Л. Л. До. Лаланн, 1843). Підстави загальної теорії номографічних побудов дав М. Окань в 1884—91; у його ж роботах вперше зустрічається назва «Н.». Першим в Росії питаннями Н. почав займатися Н. М. Герсеванов в 1906—08. Велика заслуга в справі розвитку теорії Н. і організації номографірованія інженерних розрахунків належить Н. А. Глагольову, що очолював радянську номографічну школу.
Літ.: Пентковський М. Ст, що Рахують креслення. (Номограми), 2 видавництва, М. 1959; його ж, Номографія, М. — Л., 1949; Герсеванов Н. М., Основи номографії, 2 видавництва, М. — Л., 1932; Глагольов Н. А., Теоретичні основи номографії, 2 видавництва, М. — Л., 1936; його ж. Курс номографії, 2 видавництва, М., 1961; Невський Би. А., Довідкова книга по номографії, М. — Л., 1951; Номографічна збірка, М., 1951; D''ocagne М., Traité de nomographie, 2 éd., P., 1921; Soureau R., Nomographie ou traité des abaques, t. 1—2, P., 1921.
