Наближена інтеграція
 
а б в г д е ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ъ ы ь э ю я
 

Наближена інтеграція

Наближена інтеграція певних інтегралів, розділ обчислювальної математики, що займається розробкою і вживанням методів наближеного обчислення визначених інтегралів .

  Хай в = f ( x ) безперервна функція на відрізку [ а, b ] і інтеграл

загрузка...

  Якщо для функції f ( x ) відомі значення первісною F ( x ) при x = а і х = b, те по формулі Ньютона — Лейбніца

I ( f ) = F ( b ) - F ( а )

  Інакше доводиться шукати ін. дороги обчислення l . Одним з доріг є побудова квадратурних формул, що приблизно виражають значення I  у вигляді лінійної функції деякого числа значень функції f ( x ) і її похідних. Квадратурною формулою, що містить лише значення функції f ( x ) , називають вираження вигляду

S n =  A до f ( x до ) ,

в якому точки x до , до = 1, 2..., n, x до Î [ а, b ], називають вузлами, а коефіцієнти A до вагами.

  Для кожної безперервної функції f ( x ) значення I  може бути обчислене за допомогою сум S n з будь-якою точністю. Вибір квадратурної формули визначається класом W, до якого відносять конкретну функцію f ( x ) , способом завдання функції і наявними обчислювальними засобами. Погрішністю квадратурної формули називається різниця

R n = I  - S n .

  Квадратурна формула містить 2 n + 1 не залежних від функції f ( x ) параметрів: n, x до , A до ( до = 1, 2..., n ) , які вибирають так, щоб при f Î W погрішність її була допустимо малою. Точність квадратурної формули для f Î W характеризує величина rn (W) — точна верхня грань ½ Rn ½ на безлічі W:

.

  Хай

  Квадратурна формула, для якої W n (W) = r n (W), називається оптимальною на класі П. Веса і вузли в оптимальній квадратурній формулі можуть бути довільними або підпорядкованими певним зв'язкам.

  Розрізняють два класи квадратурних формул: елементарні і складені. Розроблено декілька методів побудови елементарних квадратурних формул. Хай w q ( x ), q = 0, 1..., — повна система функцій в класі W, і будь-яка f ( x ) Î Q досить добре наближається лінійними комбінаціями перших функцій w q ( x ) . Хай l (w q ) , q = 0, 1, 2..., можна обчислити точно. Для кожного n параметри квадратурної формули можна визначити з вимоги, щоб

I (w q ) = S n (w q ) , q = 0, 1..., m,

для можливо більшого значення m. В методі Ньютона — Котеса в квадратурній формулі вибираються вузли x до , а визначенню підлягають ваги A до . В методі Чебишева на ваги A до заздалегідь накладаються деякі зв'язки [наприклад, A до = ( b - а ) /n ], а визначенню підлягають вузли x до . В методі Гауса визначаються і ваги A до і вузлів x до . В методі Марков j вузлів ( j < n ) вважають заздалегідь відомими, а визначають ваги і вузли, що залишилися. Точність отриманих такими методами квадратурних формул істотно підвищується при вдалому виборі функцій w q ( x ) .

  Формули Ньютона — Котеса будуються на основі системи функцій w q = x q , q = 0, 1...; вузли x до розбивають відрізок інтеграції на рівні частини. Прикладами таких формул є прямокутників формула, трапецій формула і Сімпсона формула .

  Оскільки заміною змінною інтеграція по [ а, b ] зводиться до інтеграції по відрізку [-1, 1], то для визначення вагів і вузлів елементарних формул на [ а, b ] досить знати їх для відрізання [-1, 1]. В разі складених формул вихідний інтеграл представляється у вигляді:

і для обчислення інтегралів по відрізках [ a i , a i+1 ] застосовуються елементарні квадратурні формули.

  У формулах Гауса m = 2 n — 1, а при а = 1, b = 1 вузли x до є корінням Лежандра многочлена P n ( x ) міри n, а

A до = 2(1 - x 2 до ) -1 ( P’ n ( x до )) -2

  Квадратурна формула Чебишева існує при A до = l/n, l = b - а і x до Î [ а, b ] лише для n = 1..., 7, 9; у ній m = n - 1. Вживання рівних вагів мінімізує імовірнісну помилку, якщо значення f ( x ) містять незалежні випадкові помилки з однаковою дисперсією.

  При обчисленні інтегралів від функцій з періодом l найбільш споживані квадратурні формули типа Гауса:

.

  Існують квадратурні формули для обчислення інтегралів вигляду

де р ( х ) фіксована, т.з. вагова функція. Її підбирають так, щоб для всіх f Î W функції f ( x ) добре наближалася лінійними комбінаціями функцій w q ( x ) .

  Для наближеного обчислення невизначених інтегралів їх представляють як певні інтеграли із змінною верхньою межею і далі застосовують вказані вище формули.

  Таблиці вузлів і вагів, а також оцінки погрішності квадратурних формул приводяться в спеціальних довідниках.

  Квадратурні формули обчислення кратних інтегралів інколи називаються кубатурнимі формулами. Кратні інтеграли можна обчислювати як повторні інтеграли, застосовуючи описані квадратурні формули. Т. до. при збільшенні кратності істотно зростає кількість вузлів, то для обчислення кратних інтегралів розроблений ряд спеціальних формул.

  Обчислення інтегралів на ЕОМ(електронна обчислювальна машина) зазвичай здійснюється за допомогою стандартних програм. В разі однократних інтегралів найбільш споживані стандартні програми з автоматичним вибором кроку.

  Літ.: Крилов Ст І., Наближене обчислення інтегралів, 2 видавництва, М., 1967; Хвальків Н. С., Чисельні методи, М., 1973; Никольський С. М., Квадратурні формули, М., 1958; Березін І. С., Жідков Н. П., Методи обчислення, 3 видавництва, ч. 1, М., 1966; Собольов С. Л., Введення в теорію кубатурних формул, М., 1974; Коробів Н. М., Теоретікочисловиє методи в наближеному аналізі, М., 1963.

  Ст І. Лебедев.