Повна система функцій , така система функцій Ф = {j( x :)}, визначених на відрізку [ а, b ], що не існує функції f ( x ), для якої, і яка була б ортогональна до всіх функцій j( х ) з Ф, тобто для якої
при будь-якій функції j( х ) з Ф (інтеграли розуміються в сенсі Лебега, див.(дивися) Інтеграл ) . Система функцій може бути повною на одному відрізку і не бути повною на іншому. Наприклад, 1, sin x, cos х, ..., sin nx, cos nx... утворюють П. с. ф. на відрізку [0, 2p], але не утворюють П. с. ф. на відрізку [—2p, 2p]; останнє витікає з того, що
для будь-якої функції j( x ) даної системи. Для того, щоб система функцій з інтегрованим квадратом була П. с. ф., необхідно і досить, щоб будь-яку функцію з інтегрованим квадратом на відрізку [ а, b ] можна було з будь-якою мірою точності наблизити в середньому лінійними комбінаціями функцій з цієї системи. Див. Ортогональна система функцій .
