Приближенное интегрирование

Приближённое интегрирование определённых интегралов, раздел вычислительной математики, занимающийся разработкой и применением методов приближённого вычисления определённых интегралов.

  Пусть y = f (x) — непрерывная функция на отрезке [a, b] и интеграл

  Если для функции f (x) известны значения первообразной F (x) при x = а и х = b, то по формуле Ньютона — Лейбница

I (f) = F (b) - F (a)

  В противном случае приходится искать др. пути вычисления l . Одним из путей является построение квадратурных формул, приближённо выражающих значение I  в виде линейной функции некоторого числа значений функции f (x) и её производных. Квадратурной формулой, содержащей только значения функции f (x), называют выражение вида

S_n =  A_kf (x_k),

в котором точки x_k, k = 1, 2,..., n, x_k Î [a, b], называют узлами, а коэффициенты A_k — весами.

  Для каждой непрерывной функции f (x) значение I  может быть вычислено с помощью сумм S_n с любой точностью. Выбор квадратурной формулы определяется классом W, к которому относят конкретную функцию f (x), способом задания функции и имеющимися вычислительными средствами. Погрешностью квадратурной формулы называется разность

R_n = I  - S_n.

  Квадратурная формула содержит 2n + 1 не зависящих от функции f (x) параметров: n, x_k, A_k (k = 1, 2,..., n), которые выбирают так, чтобы при f Î W погрешность её была допустимо малой. Точность квадратурной формулы для f Î W характеризует величина rn (W) — точная верхняя грань ½Rn½ на множестве W:

.

  Пусть

  Квадратурная формула, для которой W_n (W) = r_n (W), называется оптимальной на классе П. Веса и узлы в оптимальной квадратурной формуле могут быть произвольными или подчинёнными определённым связям.

  Различают два класса квадратурных формул: элементарные и составные. Разработано несколько методов построения элементарных квадратурных формул. Пусть w_q (x), q = 0, 1,..., — полная система функций в классе W, и любая f (x) Î Q достаточно хорошо приближается линейными комбинациями первых функций w_q (x). Пусть l (w_q), q = 0, 1, 2,..., можно вычислить точно. Для каждого n параметры квадратурной формулы можно определить из требования, чтобы

I (w_q) = S_n (w_q), q = 0, 1,..., m,

для возможно большего значения m. В методе Ньютона — Котеса в квадратурной формуле выбираются узлы x_k, а определению подлежат веса A_k. В методе Чебышева на веса A_k заранее накладываются некоторые связи [например, A_k = (b - а)/n], а определению подлежат узлы x_k. В методе Гаусса определяются и веса A_k и узлы x_k. В методе Маркова j узлов (j < n) считают заранее известными, а определяют веса и оставшиеся узлы. Точность полученных такими методами квадратурных формул существенно повышается при удачном выборе функций w_q (x).

  Формулы Ньютона — Котеса строятся на основе системы функций w_q = x^q, q = 0, 1,...; узлы x_k разбивают отрезок интегрирования на равные части. Примерами таких формул являются прямоугольников формула, трапеций формула и Симпсона формула.

  Поскольку заменой переменной интегрирование по [а, b] сводится к интегрированию по отрезку [-1, 1], то для определения весов и узлов элементарных формул на [а, b] достаточно знать их для отрезка [-1, 1]. В случае составных формул исходный интеграл представляется в виде:

и для вычисления интегралов по отрезкам [a_i, a_i+1] применяются элементарные квадратурные формулы.

  В формулах Гаусса m = 2n — 1, а при а = —1, b = 1 узлы x_k являются корнями Лежандра многочлена P_n (x) степени n, а

A_k = 2(1 - x²_k)^-1(P’_n (x_k))^-2

  Квадратурная формула Чебышева существует при A_k = l/n, l = b - а и x_k Î [a, b] лишь для n = 1,..., 7, 9; в ней m = n - 1. Применение равных весов минимизирует вероятностную ошибку, если значения f (x) содержат независимые случайные ошибки с одинаковой дисперсией.

  При вычислении интегралов от функций с периодом l наиболее употребительны квадратурные формулы типа Гаусса:

.

  Существуют квадратурные формулы для вычисления интегралов вида

где р (х) — фиксированная, т. н. весовая функция. Её подбирают так, чтобы для всех f Î W функции f (x) хорошо приближалась линейными комбинациями функций w_q (x).

  Для приближённого вычисления неопределённых интегралов их представляют как определённые интегралы с переменным верхним пределом и далее применяют указанные выше формулы.

  Таблицы узлов и весов, а также оценки погрешности квадратурных формул приводятся в специальных справочниках.

  Квадратурные формулы вычисления кратных интегралов иногда называются кубатурными формулами. Кратные интегралы можно вычислять как повторные интегралы, применяя описанные квадратурные формулы. Т. к. при увеличении кратности существенно возрастает количество узлов, то для вычисления кратных интегралов разработан ряд специальных формул.

  Вычисление интегралов на ЭВМ(электронная вычислительная машина) обычно осуществляется с помощью стандартных программ. В случае однократных интегралов наиболее употребительны стандартные программы с автоматическим выбором шага.

  Лит.: Крылов В. И., Приближенное вычисление интегралов, 2 изд., М., 1967; Бахвалов Н. С., Численные методы, М., 1973; Никольский С. М., Квадратурные формулы, М., 1958; Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычисления, 3 изд., ч. 1, М., 1966; Соболев С. Л., Введение в теорию кубатурных формул, М., 1974; Коробов Н. М., Теоретикочисловые методы в приближенном анализе, М., 1963.

  В. И. Лебедев.