Лежандра многочлени
 
а б в г д е ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ъ ы ь э ю я
 

Лежандра многочлени

Лежандра многочлени , сферичні многочлени, спеціальна система многочленів послідовно зростаючих мір. Вперше розглядалася А. Лежандром і П. Лапласом (у 1782—85) незалежно один від одного. Для n = 0,1,2... Л. м. Р ( х ) можуть бути визначені формулою:

загрузка...

 ,

  зокрема:

 ,,,

 ,

 ,

   

  і так далі Всі нулі многочлена P n ( x ) — дійсні і лежать в основному проміжку [—1, +1], перемежаючись з нулями многочлена P n+i ( x ). Л. м. — ортогональні многочлени з вагою 1 на відрізку [—1, +1,]; вони утворюють повну систему, чим обумовлюється можливість розкладання в ряд по Л. м. довільної функції f ( x ), інтегрованою на відрізку [—1, +1]:

 ,

  де .

  Характер збіжності рядів по Л. м. приблизно той же, що і рядів Фур'є.

  Явне вираження для Л. м.:

  .

  Виробляюча функція:

 

  (Л. м. — коефіцієнти при n -ій мірі в розкладанні цієї функції по мірах t ). Рекурентна формула:

  np n ( x ) + ( n - 1) P n-2 ( x ) - (2 n - 1) xp n-1 ( x ) = 0 .

  Диференціальне рівняння для Л. м.

 

  виникає при розділенні змінних в рівнянні Лапласа в сферичних координатах. Див. також Сферичні функції .

 

  Літ.: Янке Е., Емде Ф., Леш Ф., Спеціальні функції. Формули, графіки, таблиці, пер.(переведення) з йому.(німецький), 2 видавництва, М., 1968; Лебедев Н. Н., Спеціальні функції і їх застосування, 2 видавництва, М. — Л., 1963.

  Ст Н. Бітюцков.