Лежандра многочлени , сферичні многочлени, спеціальна система многочленів послідовно зростаючих мір. Вперше розглядалася А. Лежандром і П. Лапласом (у 1782—85) незалежно один від одного. Для n = 0,1,2... Л. м. Р ( х ) можуть бути визначені формулою:
,
зокрема:
,,,
,
,
і так далі Всі нулі многочлена P n ( x ) — дійсні і лежать в основному проміжку [—1, +1], перемежаючись з нулями многочлена P n+i ( x ). Л. м. — ортогональні многочлени з вагою 1 на відрізку [—1, +1,]; вони утворюють повну систему, чим обумовлюється можливість розкладання в ряд по Л. м. довільної функції f ( x ), інтегрованою на відрізку [—1, +1]:
,
де .
Характер збіжності рядів по Л. м. приблизно той же, що і рядів Фур'є.
Явне вираження для Л. м.:
.
Виробляюча функція:
(Л. м. — коефіцієнти при n -ій мірі в розкладанні цієї функції по мірах t ). Рекурентна формула:
np n ( x ) + ( n - 1) P n-2 ( x ) - (2 n - 1) xp n-1 ( x ) = 0 .
Диференціальне рівняння для Л. м.
виникає при розділенні змінних в рівнянні Лапласа в сферичних координатах. Див. також Сферичні функції .
Літ.: Янке Е., Емде Ф., Леш Ф., Спеціальні функції. Формули, графіки, таблиці, пер.(переведення) з йому.(німецький), 2 видавництва, М., 1968; Лебедев Н. Н., Спеціальні функції і їх застосування, 2 видавництва, М. — Л., 1963.
