Сферичні функції, спеціальні функції, вживані для вивчення фізичних явищ в просторових областях, обмежених сферичними поверхнями, і для вирішення фізичних завдань, що володіють сферичною симетрією. С. ф. є вирішеннями диференціального рівняння
,
що виходить при розділенні змінних в Лапласа рівнянні в сферичних координатах r, q, j . Загальний вигляд рішення:
,
де а m — постійні, — приєднані функції Лежандра міри l і порядку m, визначувані рівністю:
С. ф. можна розглядати як функції на поверхні одиничної сфери. Функції
утворюють повну ортонормовану систему на сфері, що грає ту ж роль в розкладанні функцій на сфері, що тригонометрична система функцій { e im j } на колі. Функції на сфері, не залежні від координати j, розкладаються по зональних С. ф.:
С. ф. міри l
при обертанні сфери лінійно перетвориться по формулі:
(1)
( q –1 M — крапка, в яку переходить точка М-коду сфери при обертанні q –1 ) . Коефіцієнти є матричними елементами унітарного представлення ваги l групи обертання сфери, що не приводиться. Їх називають також узагальненими С. ф. Узагальнені С. ф. застосовуються при розкладанні векторних і тензорних полів на одиничній сфері, вирішенні деяких завдань теорії пружності і т. д.
З формулою (1) пов'язана теорема складання для зональних С. ф.:
,
де cos g = cos q cos q‘ + sinq sinq'' cos (j —j’), g — сферична відстань крапки (q, j) від крапки (q'', j’).
Характерним прикладом багаточисельних застосувань С. ф. до питань математичної фізики і механіки є вживання їх в теорії потенціалу. Хай — поверхнева щільність розподілу маси по сфері радіусу R з центром на початку координат; якщо а можна розкласти у ряд С. ф., що сходиться рівномірно на поверхні сфери, то потенціал, відповідний цьому розподілу мас, в кожній крапці ( r , q, j ), зовнішній відносно даної сфери, рівний
а в кожній крапці, внутрішній по відношенню до сфери, рівний
Загальний член кожної з цих двох лав є кульову функцію відповідно мірі n - 1 і n.
Літ.: Бейтмен Р., Ердей і А., Вищі трансцендентні функції пер.(переведення) з англ.(англійський), т. 1—2, М., 1973; Никіфоров А. Ф., Уварів Ст Би., Основи теорії спеціальних функцій, М., 1974; Гобсон Е. Ст, Теорія сферичних і еліпсоїдних функцій, перло.(переведення) з англ.(англійський), М., 1952; Lense J., Kugelfunktionen, 2 Aufl., Lpz., 1954.
