Ортогональні многочлени
 
а б в г д е ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ъ ы ь э ю я
 

Ортогональні многочлени

Ортогональні многочлени, спеціальні системи многочленів { р п ( х )}; n = 0, 1, 2..., ортогональних з вагою r( х ) на відрізку [ а , b ] (див. Ортогональна система функцій ). Нормована система О. м. позначається через, а система О. м., старші коефіцієнти яких дорівнюють 1, - через . У краєвих завданнях математичної фізики часто зустрічаються системи О. м., для яких вага r( х ) задовольняє диференціальному рівнянню (Пірсону)

загрузка...

Многочлен р п ( х ) такої системи задовольняє диференціальному рівнянню

де g n = n [(a 1 + ( n + 1)b 2 ].

  Найбільш важливі системи О. м. (класичні) відносяться до цього типа; вони виходять (з точністю до постійного множника) при вказаних нижче а , b і r( х ).

  1) Якобі многочлени { Р п ( l, m) ( х )} — при а = —1, b = 1 r( х )= (1— х ) l (1 + x ) m , l > —1, m > —1. Спеціальні окремі випадки многочленів Якобі відповідають наступним значенням l і m: l = m— ультрасферичні многочлени  (їх інколи називають многочленами Гегенбауера); l = m = — 1 / 2 , тобто  — Чебишева многочлени 1-го роду T n ( x ); l = m = 1 / 2 , тобто  — Чебишева многочлени 2-го роду U n ( x ); l = m = 0, тобто r( х ) º 1 — Лежандра многочлени Р п ( х ).

  2) Лагера многочлени L n ( x ) — при а = 0, b = + ¥ і r( х )= е (їх наз.(назив) також многочленами Чебишева — Лагера) і узагальнені многочлени Лагера  — при .

  3) Ерміта многочлени Н n ( х ) — при а = —¥, b = + ¥ і  (їх називають також многочленами Чебишева — Ерміта).

  О. м. володіють багатьма загальними властивостями. Нулі многочленів р n ( х ) є дійсними і простими і розташовані усередині [ а , b ]. Між двома послідовними нулями многочлена р n ( х ) лежить один нуль многочлена p n+1 ( х ). Многочлен р n ( х ) може бути представлений у вигляді т.з. формули Родріга

де A n — постійне, а b( х ) див.(дивися) формулу (*). Кожна система О. м. володіє властивостями замкнутості. Три послідовне О. м.,,  зв'язано рекурентним співвідношенням:

,

де а п+2 і l n+2 таким чином виражаються через коефіцієнти цих многочленів: якщо

,

те

;

  Загальна теорія О. м. побудована П. Л. Чебишевим . Основним апаратом вивчення О. м. з'явилося для нього розкладання інтеграла  в безперервний дріб з елементами вигляду х a n і чисельниками l n—1 . Знаменники j n ( х ) / р n ( х ) відповідних дробів цього безперервного дробу утворюють систему О. м. на відрізку [ а , b ] відносно ваги r( х ).

  Приведені вище класичні системи О. м. виражаються через гіпергеометричну функцію .

  Літ.: Сеге Р., Ортогональні многочлени, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1962; див.(дивися) також літ.(літературний) при ст. Ортогональна система функцій .

  Ст І. Бітюцков.