Чебишева многочлени
 
а б в г д е ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ъ ы ь э ю я
 

Чебишева многочлени

Чебишева многочлени,

   1) Ч. м. 1-го роду — спеціальна система многочленів послідовно зростаючих мір. Для n = 0, 1, 2... визначаються формулою:

загрузка...

  Зокрема, Т 0 = 1; T 1 = х ; T 2 = 2 x 2 ¾1; T 3 = 4 x 3 ¾ 3 x ; T 4 = 8 x 4 ¾ 8 x 2 + 1. Ч. м. T n ( x ) ортогональні (див. Ортогональні многочлени ) на відрізку [—1; + 1] відносно ваги (1 — x 2 ) ¾1/2 . Диференціальне рівняння:

(1 — x 2 ) у" ху + n 2 в = 0 .

  Рекурентна формула: T n+ 1 ( x ) = 2xtn ( х ) - T n ¾1 ( x ) .

  Ч. м. 1-го роду є окремим випадком Якобі многочленів P n ( ab) ( x ) :

.

  2) Ч. м. 2-го роду U n ( x ) ортогональна на відрізку [—1; + 1] відносно ваги (1 — x 2 ) 1/2 система многочленів пов'язана з Ч. м. 1-го роду, наприклад рекурентним співвідношенням:

(1 — x 2 ) U n ¾1 ( х ) = xtn ( х ) ¾ T n+ 1 ( х ) .

 

  Літ.: Чебишев П. Л., Полн. собр. соч.(вигадування), т. 2—3, М-код.—Л., 1947—48; Сеге Р., Ортогональні многочлени, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1962.