Чебышева многочлены

Чебышева многочлены,

  1) Ч. м. 1-го рода — специальная система многочленов последовательно возрастающих степеней. Для n = 0, 1, 2,... определяются формулой:

  В частности, Т₀ = 1; T₁ = х; T₂ = 2x² ¾1; T₃ = 4x³ ¾ 3x; T₄ = 8x⁴ ¾ 8x² + 1. Ч. м. T_n (x) ортогональны (см. Ортогональные многочлены) на отрезке [—1; + 1] относительно веса (1 — x²)^¾1/2. Дифференциальное уравнение:

(1 — x²) у" — ху + n²у = 0.

  Рекуррентная формула: T_n+1(x) = 2xTn (х) - T_n¾1(x).

  Ч. м. 1-го рода являются частным случаем Якоби многочленов P_n ^(ab)(x):

.

  2) Ч. м. 2-го рода U_n (x) — ортогональная на отрезке [—1; + 1] относительно веса (1 —x²)^1/2 система многочленов, связанная с Ч. м. 1-го рода, например рекуррентным соотношением:

(1 — x²) U_n¾1(х) = xTn (х) ¾ T_n+1(х).

  Лит.: Чебышев П. Л., Полн. собр. соч.(сочинение), т. 2—3, М.—Л., 1947—48; Сеге Г., Ортогональные многочлены, пер.(перевод) с англ.(английский), М., 1962.