Гіпергеометричні функції , аналітичні функції, визначувані для |z|<1c допомогою гіпергеометричного ряду . Назва «Г. ф.» було дане Дж. Валлісом (1650). Р. ф. є інтегралами гіпергеометричного рівняння
z (1— z ) w» + [ g— (1 + a+ bz] w''—abw = 0.
Це рівняння має три регулярні особливі крапки 0, 1 і ¥ і є канонічною формою рівнянь гіпергеометричного типа. Найважливіші спеціальні функції математичного аналізу є інтегралами рівнянь гіпергеометричного типа (наприклад, кульові функції ) або рівнянь, що виникають з гіпергеометричних шляхом злиття їх особливих крапок (наприклад, циліндрові функції ). Теорія рівнянь гіпергеометричного типа з'явилася основою для виникнення важливої математичної дисципліни — аналітичної теорії диференціальних рівнянь. Між різними Р. ф.
w = F (а, b; g; z )
є велике число співвідношень, наприклад:
F (а, 1; g , z ) = (1— z ) –1 F (1, g — а; g; z/(z—1)).
Літ.: Уїттекер Е. Т. і Ватсон Дж. Н., Курс сучасного аналізу, пер.(переведення) з англ.(англійський), 2 видавництва, ч. 2, М., 1963.
