Р. р. були вперше вивчені Л. Ейлером (1778). Розкладання багатьох функцій в безконечні ряди є окремими випадками Р. р. Наприклад:
(1 + z) n = F (— n , b; b; —z),
ln (1 + z) = z F (1, 1; 2; —z),
Р. р. має сенс, якщо g не дорівнює нулю або цілому негативному числу; він сходиться при |z| < 1. Якщо, крім того, g—a—b >0, то Р. р. сходиться і при z = 1. В цьому випадку справедлива формула Гауса:
F (а, b; g; 1) = G(g) G(g—a—b) /g(g—a) G(g—b)
де Г ( z ) — гамма-функція . Аналітична функція, визначувана для |z| < 1 за допомогою Р. р., називається гіпергеометричною функцією і грає важливу роль в теорії диференціальних рівнянь.
