Форма (математична), многочлен від декількох змінних, всі члени якого мають одну і ту ж міру (під мірою одночлена х а в b ... z g розуміють число a + b +... + g). Теорія Ф. знаходить вживання в геометрії алгебри, теорії чисел, диференціальній геометрії, механіці і ін. областях математики і її застосувань.
В залежності від числа m змінних Ф. називають бінарними (при m = 2), тернарнимі (при m = 3) і т.д., залежно від міри n їх членів – лінійними (при n = 1), квадратичними (при n = 2), кубічнимі (при n = 3) і т.д. Наприклад, ху + 2 в 2 + z 2 є тернарной квадратичною Ф. Еслі змінні можна розбити на групи так, щоб кожен член Ф. лінійно залежав від змінних кожної групи, то Ф. називається полілінійною. Прикладом полілінійної Ф. є визначник, що розглядається як функція своїх елементів (групи, на які розбиваються в цьому випадку елементи, є сукупності елементів, розташовані в однакових рядках або стовпцях). Будь-яка Ф. може бути отримана з полілінійної Ф. шляхом ототожнення деяких змінних. Назад – з кожної Ф. можна дорогою деякого процесу, званого процесом поляризації, отримати полілінійну Ф. Наприклад, Ф. x 2 + 2 x 1 , x 2 + x 2 відповідає полілінійна Ф.: x 1 в 1 + x 1 в 2 + в 1 x 2 + x 2 в 2 , яка в результаті ототожнення в 1 з x 1 і в 2 з x 2 перетворюється на дану Ф.: x 1 2 + 2 x 1 x 2 + x 2 2 .
Рівняння будь-якої кривої алгебри на плоскості може бути записане в однорідних координатах у вигляді f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = 0, де f – деяка тернарная Ф. Аналогично можна дати геометричне тлумачення Ф. більшого числа змінних. Геометричні властивості кривих поверхонь і т.д., не залежні від вибору системи координат, виражаються за допомогою інваріантів Ф. Теорія інваріантів є одним з основних розділів теорії алгебри Ф., що знаходить вживання не лише в геометрії алгебри, але і у ряді ін. розділів математики і її застосувань.
Найбільш важливими для додатків є квадратичні форми . Наприклад, квадрат довжини вектора виражається у вигляді квадратичної Ф. від його координат. Якщо механічна система при русі залишається близькою до положення рівноваги, то її кінетична і потенційна енергія (якщо вони не залежать явно від часу) виражаються, відповідно, квадратичними Ф. вигляду:
і .
Вивчення коливань таких систем засноване на теорії квадратичних Ф., зокрема на приведенні цих Ф. до суми квадратів. Теорія квадратичних Ф. тісно пов'язана з теорією кривих і поверхонь другого порядку (див. також Ермітова форма ) .
В теорії чисел вельми важливим є питання про уявність цілих чисел як значень Ф. з цілочисельними коефіцієнтами при цілочисельних значеннях змінних. Наприклад, будь-яке натуральне число уявно у вигляді x 2 + в 2 + z 2 + t 2 (теорема Лагранжа). Вивчення питання про уявність цілих чисел у вигляді ах 2 + 2 bxy + су 2 ; де а, b, з, х і в – цілі числа, було проведено Ж. Лагранжем і К. Гаусом . Це питання тісно пов'язане з теорією чисел алгебри. А. Туе довів, що рівняння вигляду f ( х, в ) = m, де міра форми f більше двох, мають кінцеве число цілочисельних вирішень (див. Діофантови рівняння ) .
В диференціальній геометрії і ріманової геометрія використовується диференціальні Ф., тобто многочлени від диференціалів змінних, кожен член яких має відносно диференціалів одну і ту ж міру. Коефіцієнти диференціальних Ф. можуть довільно залежати від самих змінних. Розглядаються і полілінійні диференціальні Ф. Прімерамі диференціальних Ф. є перша і друга квадратичні Ф. поверхонь теорії . Важливу роль в диференціальній геометрії грають цілі раціональні функції від коефіцієнтів квадратичних Ф. і їх похідних, що не змінюються при будь-яких невироджуваних перетвореннях змінних, що диференціюються (диференціальні інваріанти). Наприклад, повна, або гаус, кривизна поверхні є диференціальним інваріантом першої квадратичною Ф. Ісследованія по теорії диференціальних інваріантів зіграли важливу роль у виникненні тензорного числення. Теорія диференціальних інваріантів знаходить велике вживання у фізиці, дозволяючи давати інваріантні (не залежні від вибору системи координат) формулювання фізичним законам.
Багато теорем інтегрального числення (див. Гріна формули, Остроградського формула, Стоксу формула ) можуть розглядатися як теореми про зв'язок диференціальних Ф. різній мірі. Узагальнюючи ці співвідношення, Е. Картан побудував теорію зовнішнього диференціювання Ф., граючу важливу роль в сучасній математиці.
Літ.: Веблен О., Інваріанти диференціальних квадратичних форм, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1948; Гуревіч Р. Би., Основи теорії інваріантів алгебри, М. – Л.. 1948; Гантмахер Ф. Р., Теорія матриць, 3 видавництва, М., 1967; Боревіч З. І., Шафаревіч І. Р., Теорія чисел, 2 видавництва, М., 1972.
