Поверхонь теорія , розділ диференціальної геометрії, в якому вивчаються властивості поверхонь (див. Диференціальна геометрія, Поверхня ) . В класичній П. т. розглядаються властивості поверхонь, незмінні при рухах. Одне з основних завдань класичною П. т. — завдання вимірів на поверхні. Сукупність фактів, що отримуються за допомогою вимірів на поверхні, складає внутрішню геометрію поверхні. До внутрішньої геометрії поверхні відносяться такі поняття, як довжина лінії, кут між двома напрямами, площа області, а також геодезичні лінії, геодезична кривизна лінії і ін. Внутрішню геометрію визначає перша основна квадратична форма поверхні
ds 2 = Edu 2 + 2 Fdudu + Gdu 2 , (1)
[тут Е = r 2 u , F = r u r u , G = r 2 u , r = r ( u, u ) - радіус-вектор змінної точки поверхні, u, u — її криволінійні координати], що виражає квадрат диференціала дуги лінії на поверхні. Саме, якщо відомі функції Е = E ( u, u ) , F = F ( u, u ) , G = G ( u, u ) , те, знаючи внутрішні рівняння лінії u = u ( t ) , u = u ( t ) і інтегруючи ds, можна визначити довжину цієї лінії; крім того, існують формули, які при даних Е, F, G виражають кут між двома лініями і площу області по внутрішніх рівняннях цих ліній і по внутрішньому рівнянню контура області. Вивчення просторової будови околиці крапки на поверхні виробляється за допомогою другої основної квадратичної форми поверхні
2 h = Ldu 2 + 2 Mdud u + Ndu 2 , (2)
тут L = r u і n, М-код = r u u n, N = r uu n,
— одиничний вектор нормалі до поверхні. Величина h з точністю до малих вищого порядку відносно du, du дорівнює відстані від крапки М-коду’ поверхні з координатами u + du, u + du до дотичної плоскості g в точці М-коду з координатами u, u, причому відстань береться із знаком + або — залежно від того, з якого боку від в розташована точка М''. Якщо форма (2) знакоопределенная, то поверхня в досить малій околиці точки М-коду розташовується по одну сторону від дотичної плоскості g, і в цьому випадку точка М-коду поверхні називається еліптичною ( мал. 1 ). Якщо форма (2) знакозмінна, то поверхня в околиці точки М-коду розташовується по різні сторони від плоскості g, і точка М-коду тоді називається гіперболічною ( мал. 2 ). Якщо форма (2) знакоопределенная, але набуває нульових значень (при не рівних одночасно нулю du і du ) , те точка М-коду називається параболічною (на мал. 3 показаний один з прикладів будови поверхні в околиці параболічної крапки).
точніша характеристика просторової форми поверхні може бути отримана за допомогою дослідження геометричних властивостей ліній на поверхні. Хай М-код — деяка точка поверхні S і n — одиничний вектор нормалі до поверхні в М. Лінія ( L ) пересічення S з плоскістю, проходящей через n в напрямі називається нормальним перетином в цьому напрямі, а її кривизна — нормальною кривизною 1/ R, яка обчислюється за формулою:
.
Нормальна кривизна поверхні в даній точці М-коду в даному напрямі може розглядатися як міра викривленості поверхні в М-коді в напрямі . Екстремальні значення нормальної кривизни в даній крапці називається головними кривизнами, а відповідні напрями на поверхні — головними напрямами. Кривизна довільного нормального перетину в даній крапці зв'язана простим співвідношенням з головними кривизнами (див. Ейлера формули ) . Якщо головна кривизни в точці М-коду різні, то в цій крапці існують два різні головні напрями. Лінії, напрями яких в кожній крапці є головними, називаються лініями кривизни. Напрями, в яких нормальна кривизна дорівнює нулю, називаються асимптотичними, а лінії, що мають в кожній крапці асимптотичний напрям, — асимптотичними лініями. Поверхня, що складається з еліптичних крапок (наприклад, сфера), не має асимптотичних ліній. Поверхня, що складається з гіперболічних крапок, має два сімейства асимптотичних ліній (наприклад, дві системи прямолінійних створюючих однопорожнинного гіперболоїда). Поверхня, що складається з параболічних крапок, має одну систему асимптотичних ліній — систему прямолінійних створюючих. Подальше вивчення властивостей довільних ліній на поверхні (в першу чергу кривизн ліній) тісно пов'язане з кривизнами нормальних перетинів. Кривизна до в даній точці М-коду довільної лінії Г може бути обчислена за формулою:
,
де k n — кривизна нормального перетину L в точці М-коду у напрямі дотичної до Г, а q — кут між головними нормалями до Г і L в цій точці (див. Менье теорема ) .
Поверхні, між точками яких можна встановити таку взаємно однозначну відповідність, що довжини відповідних ліній рівні, називаються ізометрічнимі. Ізометрічниє поверхні мають однакову внутрішню геометрію, але їх просторова будова може бути різною і головні кривизни у відповідних крапках у них можуть бути також різними (наприклад, околиця крапки на плоскості ізометрічна деякої околиці крапки на циліндрі, але має іншу просторову структуру). Проте твір До головних кривизн 1/ R 1 і 1/ R 2 в точці М-коду не міняється при ізометрічних перетвореннях поверхні (теорема Гауса, 1826) і може служити внутрішньою мірою викривленості поверхні в даній крапці. Величина До називається повною (або гаусом) кривизною поверхні в точці М-коду і виражається співвідношенням:
, (2)
яке називається формулою Гауса (повна кривизна відповідно до теореми Гауса може бути виражена лише через коефіцієнти першої квадратичної форми і їх похідні). Приведена вище класифікація точок регулярної поверхні може бути зіставлена із значеннями повної кривизни: у еліптичній крапці кривизна позитивна, в гіперболічній — негативна і в параболічній — дорівнює нулю.
В багатьох питаннях П. т. розглядається інша характеристика викривленості поверхні — т.з. середня кривизна, рівна напівсумі головних кривизн поверхні. Так, наприклад, одним з об'єктів досліджень П. т. є мінімальні поверхні, середня кривизна яких в кожній крапці дорівнює нулю.
Важливе значення в П. т. має питання про можливість вигинання поверхні: чи можна стверджувати, що дана поверхня буде такою, що згинається? Математично це питання формулюється таким чином: чи можливо включити дану регулярну поверхню в однопараметричне сімейство ізометрічних неконгруентних регулярних поверхонь (конгруентні поверхні — поверхні, що поєднуються рухом). Досить малі шматки поверхонь позитивної і негативної кривизни допускають безперервні вигинання. Існують поверхні з точкою сплощення (тобто крапкою, де всі нормальні кривизни дорівнюють нулю), скільки завгодно мала околиця якої не допускає вигинання. Останній результат встановлений радянським геометром Н. Ст Ефімовим. Окрім самої можливості вигинання, розглядаються і вигинання спеціальних типів.
Завдання вигинання поверхонь тісно пов'язане із завданням визначення поверхні по заданих основних квадратичних формах, що отримала повне рішення в роботах німецького математика До. Гауса, російського математика До. М. Петерсона, італійських математиків Г. Майнарді і Д. Кодацци і французького математика О. Бонні. Оскільки значення повної кривизни До поверхні може бути виражене через коефіцієнти першої квадратичної форми, те рівняння (3) є одним із співвідношень, що зв'язують коефіцієнти першої (1) і другої (2) форм. Інші два співвідношення
(4)
(тут ; ; ; — Крістоффеля символи другого роду) були встановлені в 1853 До. М. Петерсоном . Справедливо і зворотне твердження — якщо коефіцієнти двох форм, одна з яких позитивно-визначена, задовольняють рівнянням (3) і (4), то існує визначена з точністю до руху і дзеркального віддзеркалення поверхня, для якої вказані форми будуть першими і другими квадратичними формами.
До найбільш важливих проблем П. т. належить проблема розшуку ознак, які дозволяють по заданих двом основним квадратичним формам поверхні (у довільних координатах) встановити, чи відноситься поверхня до даного класу поверхонь чи ні. Для вирішення цієї загальної проблеми, як і багатьох інших проблем П. т., використовуються методи тензорного числення .
З початку 20 ст в П. т. з'являється новий напрям, в якому досліджується поверхня «в цілому» по даних властивостях околиць її крапок. Наприклад, Л. Р. Шнірельманом і Л. А. Люстерником було доведене існування три замкнутих геодезичних на регулярних замкнутих поверхнях, гомеоморфних сфері. Продовження гладких поверхонь інколи приводить до появи на них особливостей. Наприклад, всяка поверхня, що розгортається, немає циліндровою, при продовженні доходить до ребра (або вістря в разі конуса). Розгляд поверхонь у всьому їх протязі і з особливостями (тобто відмова від вимог діфференцируємості) зажадало винаходу принципово нових методів дослідження поверхонь і залучення методів з інших розділів математики. Розвиток П. т. в цьому напрямі привело до створення змістовних розділів геометрії. Так, наприклад, глибокі і принципово нові результати були отримані А. Д. Александровим і А. Ст Погореловим в теорії опуклих поверхонь. Александровим був запропонований новий метод дослідження опуклих поверхонь, заснований на наближенні опуклих поверхонь опуклими многогранниками.
Розглянуті властивості поверхонь не міняються при будь-яких ізометричних перетвореннях всього простору, тобто вони відносяться до т.з. метричною П. т. Вивчають також властивості поверхонь, інваріантні по відношенню до якої-небудь іншій групі перетворень простору, наприклад групі аффінних або проектних перетворень. Аффінная П. т. розглядає властивості поверхонь, незмінні при еквіафінних перетвореннях (аффінних перетвореннях, що зберігають об'єм). Проектна П. т. розглядає проектно-інваріантні властивості поверхонь.
Літ.: Рашевський П. До., Курс диференціальної геометрії, 4 видавництва, М., 1956; Норден А. П., Теорія поверхонь, М., 1956; Погорелов А. Ст, Диференціальна геометрія, 5 видавництво, М., 1969; Каган Ст Ф., Основи теорії поверхонь в тензорному викладі, ч. 1—2, М. — Л., 1947—48; Бляшке В. Диференціальна геометрія і геометричні основи теорії відносності Ейнштейна, пер.(переведення) з йому.(німецький), т. 1, М. — Л., 1935; Александров А. Д., Внутрішня геометрія опуклих поверхонь, М. — Л., 1948; Погорелов А. Ст, Зовнішня геометрія опуклих поверхонь, М., 1969; Фініків С. П., проектно-диференціальна геометрія, М. — Л., 1937; Широков П. А., Широков А. П., диференціальна геометрія Аффінная, М., 1959; Blaschke W., Vorlesungen Über Differentialgeometrie, Bd 2, Ст, 1923; Biarichi L., Lezioni di geometria differenziale, 3 éd., t. 1—2, Bologna, 1937; Darboux G., Leçons sur la théorie générale des surfaces, 2 éd., t. 1—4, P., 1924—25.
