Поверхностей теория, раздел дифференциальной геометрии, в котором изучаются свойства поверхностей (см. Дифференциальная геометрия, Поверхность). В классической П. т. рассматриваются свойства поверхностей, неизменные при движениях. Одна из основных задач классической П. т. — задача измерений на поверхности. Совокупность фактов, получаемых при помощи измерений на поверхности, составляет внутреннюю геометрию поверхности. К внутренней геометрии поверхности относятся такие понятия, как длина линии, угол между двумя направлениями, площадь области, а также геодезические линии, геодезическая кривизна линии и др. Внутреннюю геометрию определяет первая основная квадратичная форма поверхности
ds 2= Edu2 + 2Fdudu + Gdu2, (1)
[здесь Е = r2u, F = ru ru, G = r2u, r = r (u, u) - радиус-вектор переменной точки поверхности, u, u — её криволинейные координаты], выражающая квадрат дифференциала дуги линии на поверхности. Именно, если известны функции Е = E (u, u), F = F (u, u), G = G (u, u), то, зная внутренние уравнения линии u = u (t), u= u(t) и интегрируя ds, можно определить длину этой линии; кроме того, существуют формулы, которые при данных Е, F, G выражают угол между двумя линиями и площадь области по внутренним уравнениям этих линий и по внутреннему уравнению контура области. Изучение пространственного строения окрестности точки на поверхности производится при помощи второй основной квадратичной формы поверхности
2h= Ldu2+2Mdudu+ Ndu2, (2)
здесь L = ruиn, М = ruun, N = ruun,
— единичный вектор нормали к поверхности. Величина h с точностью до малых более высокого порядка относительно du, du равна расстоянию от точки М’ поверхности с координатами u + du, u + du до касательной плоскости g в точке М с координатами u, u, причём расстояние берётся со знаком + или — в зависимости от того, с какой стороны от у расположена точка М'. Если форма (2) знакоопределённая, то поверхность в достаточно малой окрестности точки М располагается по одну сторону от касательной плоскости g, и в этом случае точка М поверхности называется эллиптической (рис. 1). Если форма (2) знакопеременная, то поверхность в окрестности точки М располагается по разные стороны от плоскости g, и точка М тогда называется гиперболической (рис. 2). Если форма (2) знакоопределённая, но принимает нулевые значения (при не равных одновременно нулю du и du), то точка М называется параболической (на рис. 3 показан один из примеров строения поверхности в окрестности параболической точки).
Более точная характеристика пространственной формы поверхности может быть получена с помощью исследования геометрических свойств линий на поверхности. Пусть М — некоторая точка поверхности S и n — единичный вектор нормали к поверхности в М. Линия (L) пересечения S с плоскостью, проходящей через n в направлении называется нормальным сечением в этом направлении, а ее кривизна — нормальной кривизной 1/R, которая вычисляется по формуле:
.
Нормальная кривизна поверхности в данной точке М в данном направлении может рассматриваться как мера искривлённости поверхности в М в направлении . Экстремальные значения нормальной кривизны в данной точке называется главными кривизнами, а соответствующие направления на поверхности — главными направлениями. Кривизна произвольного нормального сечения в данной точке связана простым соотношением с главными кривизнами (см. Эйлера формулы). Если главная кривизны в точке М различны, то в этой точке существуют два различных главных направления. Линии, направления которых в каждой точке являются главными, называются линиями кривизны. Направления, в которых нормальная кривизна равна нулю, называются асимптотическими, а линии, имеющие в каждой точке асимптотическое направление, — асимптотическими линиями. Поверхность, состоящая из эллиптических точек (например, сфера), не имеет асимптотических линий. Поверхность, состоящая из гиперболических точек, имеет два семейства асимптотических линий (например, две системы прямолинейных образующих однополостного гиперболоида). Поверхность, состоящая из параболических точек, имеет одну систему асимптотических линий — систему прямолинейных образующих. Дальнейшее изучение свойств произвольных линий на поверхности (в первую очередь кривизн линий) тесно связано с кривизнами нормальных сечений. Кривизна k в данной точке М произвольной линии Г может быть вычислена по формуле:
,
где kn — кривизна нормального сечения L в точке М в направлении касательной к Г, а q — угол между главными нормалями к Г и L в этой точке (см. Мёнье теорема).
Поверхности, между точками которых можно установить такое взаимно однозначное соответствие, что длины соответствующих линий равны, называются изометричными. Изометричные поверхности имеют одинаковую внутреннюю геометрию, но их пространственное строение может быть различным и главные кривизны в соответствующих точках у них могут быть также различными (например, окрестность точки на плоскости изометрична некоторой окрестности точки на цилиндре, но имеет иную пространственную структуру). Однако произведение К главных кривизн 1/R1 и 1/R2 в точке М не меняется при изометричных преобразованиях поверхности (теорема Гаусса, 1826) и может служить внутренней мерой искривлённости поверхности в данной точке. Величина К называется полной (или гауссовой) кривизной поверхности в точке М и выражается соотношением:
, (2)
которое называется формулой Гаусса (полная кривизна в соответствии с теоремой Гаусса может быть выражена только через коэффициенты первой квадратичной формы и их производные). Приведённая выше классификация точек регулярной поверхности может быть сопоставлена со значениями полной кривизны: в эллиптической точке кривизна положительна, в гиперболической — отрицательна и в параболической — равна нулю.
Во многих вопросах П. т. рассматривается другая характеристика искривлённости поверхности — т. н. средняя кривизна, равная полусумме главных кривизн поверхности. Так, например, одним из объектов исследований П. т. являются минимальные поверхности, средняя кривизна которых в каждой точке равна нулю.
Важное значение в П. т. имеет вопрос о возможности изгибания поверхности: можно ли утверждать, что данная поверхность будет изгибаемой? Математически этот вопрос формулируется следующим образом: возможно ли включить данную регулярную поверхность в однопараметрическое семейство изометричных неконгруэнтных регулярных поверхностей (конгруэнтные поверхности — поверхности, совмещаемые движением). Достаточно малые куски поверхностей положительной и отрицательной кривизны допускают непрерывные изгибания. Существуют поверхности с точкой уплощения (т. е. точкой, где все нормальные кривизны равны нулю), сколь угодно малая окрестность которой не допускает изгибания. Последний результат установлен советским геометром Н. В. Ефимовым. Кроме самой возможности изгибания, рассматриваются и изгибания специальных типов.
Задача изгибания поверхностей тесно связана с задачей определения поверхности по заданным основным квадратичным формам, получившей полное решение в работах немецкого математика К. Гаусса, русского математика К. М. Петерсона, итальянских математиков Г. Майнарди и Д. Кодацци и французского математика О. Бонне. Поскольку значение полной кривизны К поверхности может быть выражено через коэффициенты первой квадратичной формы, то уравнение (3) является одним из соотношений, связывающих коэффициенты первой (1) и второй (2) форм. Другие два соотношения
(4)
(здесь ; ; ; — Кристоффеля символы второго рода) были установлены в 1853 К. М. Петерсоном. Справедливо и обратное утверждение — если коэффициенты двух форм, одна из которых положительно-определённая, удовлетворяют уравнениям (3) и (4), то существует определённая с точностью до движения и зеркального отражения поверхность, для которой указанные формы будут первой и второй квадратичными формами.
К числу наиболее важных проблем П. т. относится проблема разыскания признаков, которые позволяют по заданным двум основным квадратичным формам поверхности (в произвольных координатах) установить, относится ли поверхность к данному классу поверхностей или нет. Для решения этой общей проблемы, как и многих других проблем П. т., используются методы тензорного исчисления.
С начала 20 в. в П. т. появляется новое направление, в котором исследуется поверхность «в целом» по данным свойствам окрестностей её точек. Например, Л. Г. Шнирельманом и Л. А. Люстерником было доказано существование трёх замкнутых геодезических на регулярных замкнутых поверхностях, гомеоморфных сфере. Продолжение гладких поверхностей иногда приводит к появлению на них особенностей. Например, всякая развёртывающаяся поверхность, не являющаяся цилиндрической, при продолжении доходит до ребра (или острия в случае конуса). Рассмотрение поверхностей во всём их протяжении и с особенностями (т. е. отказ от требований дифференцируемости) потребовало изобретения принципиально новых методов исследования поверхностей и привлечения методов из других разделов математики. Развитие П. т. в этом направлении привело к созданию содержательных разделов геометрии. Так, например, глубокие и принципиально новые результаты были получены А. Д. Александровым и А. В. Погореловым в теории выпуклых поверхностей. Александровым был предложен новый метод исследования выпуклых поверхностей, основанный на приближении выпуклых поверхностей выпуклыми многогранниками.
Рассмотренные свойства поверхностей не меняются при любых изометрических преобразованиях всего пространства, т. е. они относятся к т. н. метрической П. т. Изучают также свойства поверхностей, инвариантные по отношению к какой-либо другой группе преобразований пространства, например группе аффинных или проективных преобразований. Аффинная П. т. рассматривает свойства поверхностей, неизменные при эквиаффинных преобразованиях (аффинных преобразованиях, сохраняющих объём). Проективная П. т. рассматривает проективно-инвариантные свойства поверхностей.
Лит.: Рашевский П. К., Курс дифференциальной геометрии, 4 изд., М., 1956; Норден А. П., Теория поверхностей, М., 1956; Погорелов А. В., Дифференциальная геометрия, 5 изд., М., 1969; Каган В. Ф., Основы теории поверхностей в тензорном изложении, ч. 1—2, М. — Л., 1947—48; Бляшке В., Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна, пер.(перевод) с нем.(немецкий), т. 1, М. — Л., 1935; Александров А. Д., Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей, М. — Л., 1948; Погорелов А. В., Внешняя геометрия выпуклых поверхностей, М., 1969; Фиников С. П., Проективно-дифференциальная геометрия, М. — Л., 1937; Широков П. А., Широков А. П., Аффинная дифференциальная геометрия, М., 1959; Blaschke W., Vorlesungen Über Differentialgeometrie, Bd 2, В., 1923; Biarichi L., Lezioni di geometria differenziale, 3 éd., t. 1—2, Bologna, 1937; Darboux G., Leçons sur la théorie générale des surfaces, 2 éd., t. 1—4, P., 1924—25.
