Поверхні другого порядку , поверхні, декартові прямокутні координати точок яких задовольняють рівнянню алгебри 2-ої міри:
а 11 x 2 + а 22 в 2 + а 33 z 2 + 2 а 12 xy + 2 а 23 yz + 2 а 13 xz + 2 а 14 x + 2 а 24 в + 2 а 34 z + а 44 = 0 (*)
Рівняння (*) може і не визначати дійсного геометричного образу, але для збереження спільності в таких випадках говорять, що воно визначає уявну П. ст п. Залежно від значень коефіцієнтів загального рівняння (*) воно може бути перетворено за допомогою паралельного перенесення і повороту системи координат до одного з 17 приведених нижче канонічних видів, кожному з яких відповідає певний клас П. ст п. Серед них виділяють п'ять основних типів поверхонь. Саме,
1) еліпсоїди
— еліпсоїди,
— уявні еліпсоїди;
2) гіперболоїди:
— однопорожнинні гіперболоїди,
— двопорожнинні гіперболоїди;
3) параболоїди ( p > 0, q > 0):
— еліптичні параболоїди,
— гіперболічні параболоїди;
4) конуси другого порядку:
— конуси,
— уявні конуси;
5) циліндри другого порядку:
— еліптичні циліндри,
— уявні еліптичні циліндри,
— гіперболічні циліндри,
— параболічні циліндри.
Перераховані П. ст п. відносяться до т.з. П. ст п.;, що не розпадається, ст п.:
, що розпадаються П., — пари пересічної плоскості,
— пари уявної пересічної плоскості,
х 2 = а 2 — пари паралельної плоскості,
х 2 = —а 2 — пари уявної паралельної плоскості,
х 2 = 0 — пари співпадаючої плоскості.
При дослідженні загального рівняння П. ст п. важливе значення мають т.з. основні інваріанти — вирази, складені з коефіцієнтів рівняння (*) і не змінні при паралельному перенесенні і повороті системи координат. Наприклад, якщо
( a ij = a jii ),
те рівняння (*) визначає вироджені П. ст п.: конуси і циліндри другого порядку і ст п.;, що розпадаються П., якщо визначник
,
те поверхня має єдиний центр симетрії (центр П. ст п.) і називається центральною поверхнею. Якщо d = 0, то поверхня або не має центру, або має нескінченно багато центрів.
Для П. ст п. встановлена аффінная і проектна класифікація. Два П. ст п. вважають такими, що належать одному аффінному класу, якщо вони можуть бути переведені один в одного деяким аффінним перетворенням (аналогічно визначаються проектні класи П. ст п.). Кожному аффінному класу відповідає один з 17 канонічних видів рівняння П. ст п. Проектні перетворення дозволяють встановити зв'язок між різними аффіннимі класами П. ст п. Це пояснюється тим, що при цих перетвореннях зникає особлива роль нескінченно видалених елементів простору. Наприклад, еліпсоїди і двопорожнинні гіперболоїди, різні з аффінной точки зору, належать одному проектному класу П. ст п.
Літ.: Александров П. С., Лекції з аналітичної геометрії..., М., 1968; Ільін Ст А., Позняк Е. Р., Аналітична геометрія, 2 видавництва, М., 1971; Ефімов Н. Ст, Квадратичні форми і матриці, 5 видавництво, М., 1972.
