Мінімальні поверхні, поверхні, в яких середня кривизна в усіх точках дорівнює нулю (див. Кривизна ) . М. п. з'являються при рішенні наступної варіаційної задачі: у просторі дана деяка замкнута крива; серед всіх можливих поверхонь, що проходять через цю криву, знайти таку, для якої частина її, увязнена усередині кривий, мала б найменшу площу (мінімальну площу — звідси назва). Якщо задана крива — плоска, то рішенням, очевидно, буде обмежений цією кривою шматок плоскості. В разі неплоскої кривої необхідна умова, якій повинна задовольняти поверхню з мінімальною площею, була встановлена Ж. Лагранжем в 1760 і декілька пізніше тлумачить геометрично Ж. Менье у формі, еквівалентній вимозі, щоб середня кривизна перетворювалася на нуль. Хоча ця умова не є достатньою, тобто не гарантує мінімуму площі, проте згодом назва «М-код. п.» було збережене за всякою поверхнею з нульовою середньою кривизною. Якщо передбачити поверхню заданою рівнянням z = f ( х , в ), то, прирівнюючи нулю вираження для середньої кривизни, приходять до диференціального рівняння з приватними похідними 2-го порядку:
(1 + q 2 ) r - 2 pqs + (1 + p 2 ) t = 0,
де
Дослідженням цього рівняння в різних формах займалися багато математиків, починаючи з Ж. Лагранжа і Г. Монжа . Прикладами М. п. можуть служити: звичайна гвинтова поверхня ; катеноїд — єдина (речова) М. п. серед поверхонь обертання; «поверхня Шерка», визначувана рівнянням
М. п. має в усіх точках непозитивну повну кривизну. Бельгійський фізик Же. Плато запропонував спосіб експериментального здійснення М. п. за допомогою мильних плівок, натягнутих на дротяний каркас.
Літ.: Каган Ст Ф., Основи теорії поверхонь в тензорному викладі, ч. 1, М. — Л., 1947; Курант Р., Роббінс Р., Що таке математика, пер.(переведення) з англ.(англійський), 2 видавництва, М., 1967; Бляшке В., Введення в диференціальну геометрію, пер.(переведення) з йому.(німецький), М., 1957.
