Поле поняття алгебри алгебри, важливого, часто використовуване як в самій алгебрі, так і в ін. відділах математики і що є предметом самостійного вивчення.
Над звичайними числами можна виробляти чотири арифметичні дії (основні — складання і множення, і зворотні їм — віднімання і ділення). Цим же характеризуються і П. Полем називається всяка сукупність (або безліч) елементів, над якими можна виробляти дві дії — складання і множення, що підкоряються звичайним законам (аксіомам) арифметики:
I. Складання і множення комутативні і асоціативні, тобто а + b = b + а, ab = ba, а + ( b + з ) = ( а + b ) + з, а ( bc ) = ( ab ) с.
II. Існує елемент 0 (нуль), для якого завжди а + 0 = а; для кожного елементу а існує протилежний - а, і їх сума дорівнює нулю. Звідси витікає, що в П. здійснима операція віднімання а - b.
III. Існує елемент е (одиниця), для якого завжди ає = а; для кожного відмінного від нуля елементу а існує зворотний a -1 ; їх твір дорівнює одиниці. Звідси слідує можливість ділення на не всяке рівне нулю число а.
IV. Зв'язок між операціями складання і множення дається дистрибутивним законом: а ( b + з ) = ab + ас.
Наведемо декілька прикладів П.:
1) Сукупність Р всіх раціональних чисел.
2) Сукупність R всіх дійсних чисел.
3) Сукупність До всіх комплексних чисел.
4) Безліч всіх раціональних функцій від одного або від декількох змінних, наприклад з дійсними коефіцієнтами.
5) Безліч всіх чисел вигляду а + b, де а і b — раціональні числа.
6) Вибравши просте число р, розіб'ємо цілі числа на класи, об'єднавши в один клас всі числа, що дають при діленні на р один і той же залишок. Візьмемо в двох класах по представникові і складемо їх; той клас, в який попаде ця сума, назвемо сумою вибраних класів. Аналогічно визначається твір. При такому визначенні складання і множення всі класи утворюють П.; воно складається з р елементів.
З аксіом I, II витікає, що елементи П. утворюють комутативну групу відносно складання, а з аксіом I, III — те, що всі відмінні від 0 елементів П. утворюють комутативну групу відносно множення.
Може виявитися, що в П. дорівнює нулю ціле кратне na якого-небудь відмінного від нуля елементу а. В цьому випадку існує таке просте число р, що р -кратне pa будь-якого елементу а цього П. дорівнює нулю. Говорять, що в цьому випадку характеристика П. рівна р (приклад 6). Якщо na ¹ 0 ні для яких відмінних від нуля n і а, те рахують характеристику П. рівної нулю (приклади 1—5).
Якщо частина F елементів поля G сама утворює П. відносно тих же операцій складання і множення, то F називається підполем поля G, а G — надполем, або розширенням поля F. П., що не має підполів, називається простим. Всі прості П. вичерпуються П. прикладів 1 і 6 (при всіляких виборах простого числа р ) . В кожному П. міститься єдине просте підполе (П. прикладів 2—5 містять П. раціональних чисел). Природно було б поставити таке завдання: вирушаючи від простого П., отримати опис всіх П., вивчивши структуру розширень; теорема Штейніца, що приводиться нижче робить крок саме в цьому напрямі.
Деякі розширення мають порівняно просту будову. Це — а) прості трансцендентні розширення, які зводяться до того, що за поле G береться П. всіх раціональних функцій від одного змінного з коефіцієнтами з F, і б) прості розширення (приклад 5) алгебри, які виходять, якщо сукупність G всіх многочленів міри n складати і умножати по модулю що не даного приводиться над F многочлена f ( x ) міри n (конструкція, аналогічна прикладу 6). Розширення другого типа зводяться до того, що ми додаємо до F корінь многочлена f ( x ) і все ті елементи, які можна виразити через цей корінь і елементи F; кожен елемент надполя G є коренем деякого многочлена з коефіцієнтами з F. Розширення, що володіють останнім властивістю, називається алгеброю. Будь-яке розширення можна виконати в два прийоми: спочатку зробити трансцендентне розширення (утворивши П. раціональних функцій, не обов'язково від однієї змінної), а потім алгебра (теорема Штейніца). Розширень алгебри не мають лише такі П., в яких кожен многочлен розкладається на лінійні множники. Такі П. називаються алгебра замкнутими. П. комплексних чисел є алгебра замкнутим (алгебра основна теорема ) . Будь-яке П. можна включити як підполе в алгебра замкнуте.
Деякі П. спеціального вигляду піддалися детальнішому вивченню. У теорії чисел алгебри розглядаються головним чином прості розширення алгебри П. раціональних чисел. У теорії функцій алгебри досліджуються прості розширення алгебри П. раціональних функцій з комплексними коефіцієнтами; значна увага приділяється кінцевим розширенням П. раціональних функцій над довільним П. констант (тобто з довільними коефіцієнтами). Кінцеві розширення П., особливо їх автоморфізм (див. Ізоморфізм ) , вивчаються в теорії Галуа (див. Галуа теорія ) ; тут знаходять відповідь багато питань, що виникають при вирішенні рівнянь алгебри. У багатьох питаннях алгебри, особливо в різних відділах теорії П., велику роль грають нормовані поля. У зв'язку з геометричними дослідженнями з'явилися і вивчалися впорядковані П.
Літ.: Курош А. Р., Курс вищої алгебри, 10 видавництво, М., 1971; Ван дер Варден Би. Л., Сучасна алгебра, пер.(переведення) з йому.(німецький), [2 видавництва], ч. 1—2, М. — Л., 1947; Чеботарев Н. Р., Теорія функцій алгебри, М.— Л., 1948; його ж, Основи теорії Галуа. ч. 1—2, Л. — М. 1934—37; Вейль Р., теорія Алгебри чисел, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1947.
