Ізоморфізм, одне з основних понять сучасної математики, що виникло спочатку в межах алгебри в застосуванні до таких утворень алгебри, як групи, кільця, поля і т. п., але що виявилося вельми істотним для загального розуміння будови і області можливих вживань кожного розділу математики.
Поняття І. відноситься до систем об'єктів із заданими в них операціями або стосунками. Як простий приклад двох ізоморфних систем можна розглянути систему R всіх дійсних чисел із заданою на ній операцією складання x = x 1 + x 1 і систему Р позитивних дійсних чисел із заданою на ній операцією множення в = в 1 в 2 . Можна показати, що внутрішній «устрій» цих двох систем чисел досконалий однаково. Для цього досить систему R відображувати в систему Р , поставивши у відповідність числу х з R число в = a x ( а > 1) з Р. Тогда сумі x = x 1 + x 2 відповідатиме твір в = в 1 в 2 чисел відповідних x 1 і x 2 . Зворотне відображення Р на R має при цьому вигляд x = log а в. З будь-якої пропозиції, що відноситься до складання чисел системи R , можна витягувати відповідну йому пропозицію, що відноситься до множення чисел системи Р . Наприклад, якщо в R сума
членів арифметичної прогресії виражається формулою
те в Р твір
членів геометричної прогресії виражається формулою
(множенню на n в системі R відповідає при переході до системи Р зведення в n -у міру, а діленню на два — витягання квадратного кореня).
Вивчення властивостей однієї з ізоморфних систем значною мірою (а з абстрактно-математичної точки зору — повністю) зводиться до вивчення властивостей інший. Будь-яку систему об'єктів S'', ізоморфну системі S , можна розглядати як «модель» системи S («моделювати систему S за допомогою системи S'' ») і зводити вивчення найрізноманітніших властивостей системи S до вивчення властивостей «моделі» S''.
Загальне визначення І. систем об'єктів із заданими на них в кінцевому числі стосунками між постійним для кожного відношення числом об'єктів таке. Хай дано дві системи об'єктів S і S'', причому в першій визначені стосунки
а в другій — стосунки
Системи S і S'' з вказаними в них стосунками називаються ізоморфними, якщо їх можна поставити в таку взаємно однозначну відповідність
(де х — довільний елемент S , а x'' — довільний елемент S'' ), що з наявності F до ( x 1 , x 2 , ... ) витікає F'' до ( х'' 1 , х'' 2 , ... ), і навпаки. Само вказана відповідність називається при цьому ізоморфним відображенням, або ізоморфізмом. [В приведенном вище прикладі в системі R визначене відношення F ( x, x 1 , x 2 ), де x = x 1 + x 2 , в системі Р — відношення F'' ( в , в 1 , в 2 ), де в = в 1 в 2 ; взаємна однозначна відповідність встановлюється по формулах в = a x , х = 1og а в. ]
Поняття І. виникло в теорії груп, де вперше зрозумів той факт, що вивчення внутрішньої структури двох ізоморфних систем об'єктів є одним і тим же завданням.
Аксіоми будь-якої математичної теорії визначають систему об'єктів, що вивчається цією теорією, завжди лише з точністю до І.: аксіоматично побудована математична теорія, застосовна до якої-небудь одній системі об'єктів, завжди повністю застосовна і до іншої. Тому кожна аксіоматично викладена математична теорія допускає не одну, а багато «інтерпретацій», або «моделей» (див., наприклад, в ст. Геометрія, розділ Тлумачення геометрії).
Поняття І. включає як окремий випадок поняття гомеоморфізма, що грає основну роль в топології .
Окремим випадком І. є автоморфізм — взаємне однозначне відображення
системи об'єктів із заданими стосунками F до ( x 1 , x 2 ...) на саме себе, при якому з F до ( x 1 , x 2 ...) витікає F'' до ( x'' 1 , x'' 2 ...), і навпаки. Це поняття теж виникло в теорії груп, але потім виявилося істотним в самих різних розділах математики.
Літ.: Курош А. Р., Курс вищої алгебри, 3 видавництва, М. — Л., 1952; Енциклопедія елементарної математики, під ред. П. С. Александрова [і ін.], кн. 2, М. — Л., 1951.
