Ідеал (математичний), одне з основних понять алгебри. Виникнувши спочатку у зв'язку з вивченням ірраціональних чисел алгебри, І. знайшли згодом багаточисельні вживання в інших відділах математики.
Відоме, що всяке ціле (раціональне) число можна розкласти в твір простих множників; наприклад, 60 = 2 · 2 · 3 · 5, причому розкладання єдине з точністю до порядку і знаку множників:
В 19 ст математики зіткнулися з необхідністю розкладати на множники числа загальнішої природи. Якщо, наприклад, розглядати числа вигляду
де m і n — будь-які цілі (раціональні) числа, то так само, як і для звичайних цілих чисел, тут кожне число завжди можна розкласти в твір далі нерозкладних множників. Проте в цьому випадку порушується єдиність розкладання. Так, число 9 (яке виходить, якщо рахувати m = 9, n = 0) допускає тут два різні розкладання:
причому жоден з множників
далі розкласти в твір чисел вигляду
не можна. Порушення звичних законів єдиності розкладання не буде, якщо властивість подільності пов'язувати не з числами, а з І. У сучасній алгебрі І. вводяться в довільних кільцях . В разі числових кілець (таким є, наприклад, розглянута вище сукупність чисел вигляду
І. називаються також ідеальними числами. І. — це сукупність чисел, що належать даному числовому кільцю (а в разі довільного кільця — сукупність його елементів), що володіє наступними властивостями: 1) сума і різниця двох чисел (елементів) сукупності належить цій сукупності; 2) твір числа (елементу) з цієї сукупності на будь-яке інше число (на будь-який інший елемент) кільця також належить цій сукупності. Потім розглядають замість чисел відповідні їм І.; так, наприклад, числу 9 відповідає І. p = (9), що складається зі всіх чисел, що діляться на 9.
Числові поняття, пов'язані з подільністю чисел, переносяться на І.: один І. ділиться на іншій, якщо будь-який елемент першого лежить також і в другому (для чисел це еквівалентно тому, що будь-яке число першого І. ділиться хоч би на одне число другого); твір І. визначається як найменший І., що містить всілякі попарні твори елементів з обох ідеалів-множників; найбільший загальний дільник два І. — найменший І., що містить елементи як першого, так і другого І., і ін. В сукупності цілих чисел будь-який І. складається з кратних якого-небудь фіксованого числа: будь-який І. є головним. У загальному випадку, вже для ірраціональних чисел алгебри, не всякий І. є головним. Подільність на головний І. еквівалентна подільності на відповідне цьому І. число. Завдяки наявності не головних І. для цілих чисел алгебри залишається справедливою теорема про те, що будь-який І. єдиним чином розкладається в твір нерозкладних далі І. Еті нерозкладні І., називаються також простими І., виконують роль простих чисел і характеризуються тим, що обов'язково містять хоч би один з множників, якщо вони містять їх твір. Так, в розглянутому вище прикладі
(3) = p 1 p 2 ,
де
і
— нові І., наприклад І. p 1 , що є найбільшим загальним дільником І.
складається зі всіх чисел вигляду
де до і l — будь-які цілі раціональні числа.
Поняття «І.» (або в первинній термінології «ідеального числа») було введено в 1847 для одного окремого випадку числових полів німецьким математиком Е. Куммером. Строге і повне обгрунтування теорії І. для будь-яких числових полів дали незалежно один від одного німецького математика Р. Дедекинд в 1871 і російський математик Е. І. Золотарев в 1877. Новий вміст теорія І. отримала в середині 20 ст у зв'язку з розвитком загальної теорії кілець.
Літ.: Ван-дер-Варден Би. Л., Сучасна алгебра, пер.(переведення) з йому.(німецький), 2 видавництва, ч. 1—2, М-код.—Л., 1947.
