Кватерніони
 
а б в г д е ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ъ ы ь э ю я
 

Кватерніони

Кватерніони (від латів.(латинський) quaterni — по чотири), система чисел, запропонована в 1843 англ.(англійський) ученим В. Гамільтоном. До. виникли при спробах знайти узагальнення комплексних чисел х + iy, де х і в — дійсні числа, i — базисна одиниця з умовою i 2 = —1. Як відомо, комплексні числа зображаються геометрично точками плоскості, і дії над ними відповідають простим геометричним перетворенням плоскості (зрушенню, обертанню, розтягуванню або стискуванню і їх комбінаціям). Пошуки числової системи, яка геометрично реалізувалася б за допомогою точок 3-мірного простору, привели до встановлення того, що з точок простору три і вище за три виміри не можна «влаштувати» числову систему, в якій операції алгебри зберігали б всі властивості складання і множення дійсних або комплексних чисел. Проте якщо відмовитися від однієї властивості — комутативності (переместітельності) множення, — зберігши всі останні властивості складання і множення, то з точок простору чотирьох вимірів можна влаштувати числову систему (у просторі три, п'яти і навіть вище за виміри не можна влаштувати навіть такої системи чисел). Числа, що реалізовуються в 4-мірному просторі і називаються кватерніонамі. До. є лінійною комбінацією чотирьох «базисних одиниць» 1, i, j, до: X=x про (1 +x 1 +x 2 j+x 3 до, де х про , х 1 , x 2 , х 3 дійсні числа. Дії над До. виробляються по звичайних правилах дії над многочленами відносне 1, i, j, до (не можна лише користуватися переместітельним законом множення) з врахуванням правил множення базисних одиниць, вказаних в таблиці

1

i

j

до

1

1

i

J

до

I

i

-1

до

-j

j

j

-k

-1

i

до

до

J

-i

~!

З таблиці видно, що 1 грає роль звичайної одиниці і, отже, в записі До. може бути опущена:

  X=x про +x 1 i+x 2 j+x 3 до.

  (1)

  В До. (1) розрізняють скалярну частину х про і векторну частину

  V= x 1 i +x 2 j+x 3 до, так що X=x про +V.

  Еслі х про = 0, то кватерніон V наз.(назив) вектором; він може ототожнюватися із звичайними 3-мірними векторами .

  В середині 19 ст До. сприймалися як узагальнення поняття про число, покликане грати в науці настільки ж значну роль, як і комплексні числа. Ця точка зору підкріплювалася і тим, що були знайдені додатки До. до електродинаміки і механіки. Проте векторне числення в його сучасній формі витіснило До. з цих областей. Ясно, що роль До. ні якою мірою не може бути порівнянна з роллю комплексних чисел, що мають багаточисельні і всілякі застосування в різних галузях науки і техніки.

 

Літ.: див.(дивися) при ст. Гіперкомплексні числа .

Таблиця до ст. Кватерніони.