Проектний простір , в первинному сенсі — евклідовий простір, доповнений нескінченно видаленими крапками, прямими і плоскістю, званими також невласними елементами (див. Нескінченно видалені елементи ). При цьому кожна пряма доповнюється однією невласною крапкою, кожна плоскість — однією невласною прямою, весь простір — одній невласною плоскістю; паралельні прямі доповнюються загальною невласною крапкою, непаралельні — різними; паралельна плоскість доповнюється загальній невласній прямій, непаралельні — різними; невласні крапки, доповнюючі всілякі прямі даної плоскості, належать невласній прямій, доповнюючій ту ж плоскість; всі невласні крапки і прямі належать невласній плоскості.
П. п. можна визначити аналітично як сукупність класів пропорційних четвірок дійсних чисел, не рівних одночасно нулю. При цьому класи інтерпретуються або як плоскість П. п., а числа називаються однорідними координатами плоскості. Відношення інцидентності точки ( x 1 : x 2 : x 3 : x 4 ) і плоскість ( u 1 : u 2 : u 3 : u 4 ) виражається рівністю:. Аналогичнимобразом вводиться поняття n -мерного П. п., що грає важливу роль в геометрії алгебри, причому координатами його можуть бути елементи деякого тіла до. В загальнішому сенсі П. п. — сукупність трьох безлічі елементів, називається відповідно крапками, прямими і плоскістю, для якої визначені стосунки приналежності і порядку так, що дотримуються вимоги аксіом проектній геометрії . А. Н. Колмогоров і Л.С. Понтрягин показали, що якщо П. п. над тілом до є зв'язний компактний топологічний простір, в якому пряма безперервно залежить від двох що належать їй крапок, і виконуються аксіоми інцидентності, то до є або поле дійсних чисел, або поле комплексних чисел, або тіло кватерніонов.
