Відображення (матем.) безлічі А в безліч В , відповідність, через яку кожному елементу х безлічі А відповідає певний елемент в = f ( x ) безліч В , називають образом елементу х (елемент х називають прообразом елементу в ). Інколи під О. розуміють встановлення такої відповідності. Прикладами О. можуть служити паралельне проектування однієї плоскості на іншу, стереографічна проекція сфери на плоскість. Географічна карта може розглядатися як результат О. точок земної поверхні (або частини її) на точки шматка плоскості. Логічно поняття «Про.» збігається з поняттями функція, оператор, перетворення . Як засіб дослідження О. дає можливість замінювати вивчення співвідношень між елементами безлічі А вивченням співвідношень між елементами безлічі В , що у ряді випадків може виявитися простіше. Так, паралельним проектуванням можна відображувати паралелограм в квадрат, центральним проектуванням – будь-яку лінію другого порядку в коло і т.д. Багато властивостей залишаються незмінними (інваріантними) при О. Так, при паралельному проектуванні зберігається паралельність прямих, відношення відрізань довжин паралельних прямих і т.д.
Якщо кожен елемент безлічі В є образом елементу безлічі А , то О. називається відображенням А на безліч В . Якщо кожен елемент з В має один і лише один прообраз, то О. називається взаємно однозначним. О. називається безперервним, якщо близькі елементи безлічі А переходять в близькі елементи безлічі В . Точніше це означає, що якщо елементи x 1 , x 2 ..., х п ... сходяться до x , то елементи f ( x 1 ), f ( x 2 )..., f ( хn )... сходяться до f ( x ).
Кожної частини Т безлічі А відповідає частина f ( T ) безлічі В , що складається з образів точок цієї частини; вона називається образом Т . Якщо всі точки частини Q безлічі В є образами крапок з А , то сукупність всіх точок х з А таких, що f ( x ) лежить в Q , називаються повним прообразом Q і позначається f –1 ( Q ). При взаємно однозначному О. повний прообраз кожного елементу безлічі В складається з одного елементу безлічі А .
Взаємне однозначне О. має зворотне О., що зіставляє елементу в з В його прообраз f –1 ( в ). Взаємне однозначне О. називається топологічним, або гомеоморфним, якщо як воно, так і зворотне йому О. безперервні. При гомеоморфних О. зберігаються лише найбільш загальні властивості фігур, як, наприклад, зв'язність,, орієнтовність, розмірність і ін. Так, квадрат і круг гомеоморфни, але квадрат і куб не гомеоморфни. Властивості фігур, що не змінюються при гомеоморфних О., вивчаються в топології. Якщо в безлічі А і В є деякі співвідношення і якщо ці співвідношення зберігаються при О., то О. називається ізоморфним відносно цих співвідношень (див. Ізоморфізм ).
В математичному аналізі велику роль грають О. однієї безлічі функцій на інше. Наприклад, диференціювання може розглядатися як О., при якому функції f ( x ) відповідає функція f ’ I ( x ). Серед таких О. найбільш простими є О., при яких сума функцій переходить в суму, а при множенні функції на число образ її умножається на те ж число. Такі О. називаються лінійними, їх вивчають в функціональному аналізі . Див. також Лінійне перетворення, Операторів теорія .
У ряді випадків в безлічі А і В можна ввести координати, тобто задавати кожну точку цієї безлічі системою чисел ( x 1 ..., х п ) і ( y 1 ..., у п ). Тоді О. задається системою функцій у до = f до ( x 1 ..., x n ). 1 £ до £ m . У більшості випадків функції f, що зустрічаються на практиці, 1 , f 2 ..., f m що диференціюються: тоді О. називається таким, що диференціюється. Якщо О. що диференціюється, m= n і якобіан О. відмінний від нуля, то Про. взаємно однозначно.
що Диференціюються О. поверхонь на поверхні вивчаються в диференціальній геометрії. Є властивості, загальні всім диференціально-геометричним О. Наприклад, на поверхні S завжди можна вказати таку ортогональну мережу (див. Мережі ліній ), якій на поверхні S ’ відповідає також ортогональна мережа. Ця теорема має важливе значення в картографії.
Найбільш важливі наступні класи О. поверхонь. Ізометричне відображення, яке характеризується тим, що всяка дуга, лежача на S , має ту ж довжину, що і образ цієї дуги на S ’. При таких О. зберігаються площі фігур, а також кути між двома напрямами, що виходять з однієї крапки (детальніше за див.(дивися) Диференціальна геометрія, Вигинання ). Конформне відображення, при якому зберігаються кути між всякими двома напрямами, що виходять з однієї крапки (див. Конформне відображення ). Прикладом може служити стереографічна проекція. Сферичне відображення поверхні S на сферу S полягає в тому, що кожній точці М-коду поверхні S ставиться у відповідність така точка М-коду ’ сфери S, щоб нормалі до S і S, проведені відповідно в точках М-коду і М-код ’ були паралельні. Загальнішим є О. двох довільних поверхонь по паралельності нормалей. Геодезичне відображення поверхонь, при якому будь-якій геодезичній лінії на поверхні S відповідає на S ’ лінія також геодезична. Геодезична О. поверхні постійної негативної кривизни на частину плоскості має велике значення для тлумачення геометрії Лобачевського. Еквіареальне відображення поверхні на поверхню, при якому площі відповідних один одному фігур рівні.
З точки зору картографії, кожне з трьох О. кривої поверхні на плоскість — конформне, геодезичне і еквіареальне — має свої переваги; задовольнити відразу не лише всім цим вимогам, але навіть і яким-небудь двом з них виявляється неможливим.
Літ.: Рашевський П. До., Ріманова геометрія і тензорний аналіз, 3 видавництва, М., 1967; Бляшке В., Диференціальна геометрія і геометричні основи теорії відносності Ейнштейна пер.(переведення) з йому.(німецький), ч. 1, М. — Л., 1935; Гільберт Д. і Конфоссен С., Наочна геометрія, пер.(переведення) з йому.(німецький), 2 видавництва, М. — Л., 1951.
