Операторів теорія , частина функціонального аналізу, присвячена вивченню властивостей операторів і вживанню їх до вирішення різних завдань. Поняття оператора — одне з найзагальніших математичних понять.
Приклади:
1) Віднісши кожному вектору (x 1 , x 2 , x 3 ) вектор (x’ 1 , x’’ 2 , x’ 3 ) так, що x’ i = a i 1 x 1 + a i 2 x 2 + a i 3 x 3 ( i = 1, 2, 3; a i 1 , a i 2 , a i 3 — фіксовані числа), отримаємо деякого оператора.
2) Операція (оператор) диференціювання D [ f ( t )] = f’ ( t ) відносить кожній функції f ( t ), що диференціюється, її похідну f’ ( t ).
3) Операція (оператор) певної інтеграції I = відносить кожній інтегрованій функції дійсне число.
4) Віднісши кожній функції f ( t ) єє твір j( t ) f ( t ) на фіксовану функцію j( t ), знову отримуємо оператора.
Загальна О. т. виникла в результаті розвитку теорії інтегральних рівнянь, вирішення завдань на знаходження власних функцій і власних значень для диференціальних операторів (див., наприклад, Штурму — Ліувіля завдання ) і ін. розділів класичного аналізу. О. т. встановила тісні зв'язки між цими розділами математики і зіграла важливу роль в їх подальшому розвитку. Ще до виникнення загального поняття оператора операторні методи широко застосовувалися у вирішенні різних типів диференціальних рівнянь, звичайних і з приватними похідними (див. Операційне числення ). О. т. є основний математичний апарат квантової механіки (див. Оператори в квантовій теорії).
Оператори в лінійних просторах . Найчастіше зустрічаються оператори, що діють в лінійних нормованих просторах> (див. Лінійний простір ), в частковості у функціональних просторах, тобто відображення в = А ( х ) лінійного простору R або його частини в деякий лінійний простір R'' (можливо, співпадаюче з R ). Цей клас операторів охоплює такі найважливіші поняття, як числові функції,лінійні перетворення евклідова простори, диференціальні і інтегральні оператори (див. нижчий) і т.д. Найбільш вивченими і важливими для додатків є лінійні оператори. Оператор називається лінійним, якщо A (a x+ b в ) = a А ( х ) + b А ( в ) для будь-яких елементів х , в простору R і будь-яких чисел а, b. Якщо простори R і R'' нормовані, а відношення норми А ( х ) до норми х обмежено, то лінійний оператор A називається обмеженим, а верхню грань відношення його нормою. Обмеженість лінійного оператора рівносильна його безперервності, тобто тому, що А ( Х п ) ® А ( х ), коли Х п ® х . Оператор диференціювання (приклад 2) є одним з найважливіших прикладів необмеженого (а отже, і не безперервного) лінійного оператора. Див. також Лінійний оператор .
Наведені вище приклади 1—4 є прикладами лінійних операторів. Подальші приклади лінійних операторів:
5) Хай до ( s , t ) — безперервна функція два змінних, задана в квадраті а £ s £ b , а £ t £ b . Формула
визначає лінійного інтегрального оператора, називається оператором Фредгольма.
6) Кожній абсолютно інтегрованою на всій прямій функції f ( t ) поставимо у відповідність функцію
називається Фур'є перетворенням вихідної функції. Ця відповідність також є лінійним оператором.
7) Ліву частину лінійного диференціального рівняння
можна розглядати як результат вживання деякого оператора, що ставить у відповідність функції x ( t ) функцію j( t ). Такого оператора носить назва лінійного диференціального оператора. Простим окремим випадком лінійного диференціального оператора є оператор диференціювання.
Приклади нелінійних операторів:
8) Хай A [ f ( t )] = f 2 ( t ); визначений т.ч. оператор є нелінійним.
9) Хай
( F — деяка обмежена безперервна функція). Відповідність g ® h , визначуване цією формулою, є нелінійний інтегральний оператор.
Дії над операторами . Хай даний оператор
в = А ( х ),
причому жодні два різні елементи х і х'' не переходять в один і той же елемент в . Тоді кожному образу в відповідає його єдності. прообраз х . Ця відповідність називається зворотним оператором і позначають
х = А –1 ( в ).
Побудова зворотного оператора еквівалентна вирішенню рівняння в = А ( х ) відносно х (відшукання невідомого прообразу по даному образу).
Еслі A 1 і А 2 — два оператори, що відображують R в R'' , то їх сумою А = A 1 + A 2 називається оператор, визначуваний рівністю А ( х ) = A 1 ( x ) + A 2 ( x ). Якщо оператора A 1 переводить R в R'' , а A 2 переводить R'' в R” , то результатом їх послідовного вживання є оператор, що відображує R в R” ; його називають твором A 2 A 1 операторів A 1 і A 2 . Якщо, зокрема, розглядаються оператори, що переводять деякий лінійний простір в себе, то сума і твір два таких операторів завжди визначені. Результат послідовного вживання п разів одного і того ж оператора А є n - я міра A n цього оператора. Наприклад, n -а міра оператора диференціювання є оператор n -kpaтного диференціювання D n [ f (t)] = f ( n) (t). Твір l А оператора А на число l визначається формулою
(l А )( х ) = l А ( х ).
Оператор Е , що переводить всякий елемент х в самого себе, називається одиничним. Нульовим називається оператор Про , що переводить кожен елемент в нуль. Очевидно, що при будь-якому А справедливі рівність: AE = EA = А і А+О = Про + А = А , далі, якщо, А –1 існує, то А –1 А = AA –1 = Е (слід зауважити, що для двох довільних операторів А і В твори AB і BA , взагалі кажучи, не рівні між собою).
За допомогою операцій складання, множення операторів і множення операторів на числа можна визначити многочлени від лінійного оператора, а шляхом граничного переходу, що розуміється відповідним чином, — і складніші функції від оператора. Наприклад, якщо D — оператор диференціювання, то e D означає оператора, визначуваного формулою
,
сенс, що має, для тих f ( t ), для яких ряд справа сходиться. Для аналітичних функцій сума цього ряду рівна f ( t + 1), тобто e D — оператор зрушення, що переводить f ( t ) в f ( t + 1).
Лінійні оператори в Гільбертовому просторі . Найбільш повно О. т. розроблена для випадку лінійних операторів в Гільбертовому просторі . Хай А — обмежений лінійний оператор в Гільбертовому просторі H . Комплексне число l називається власним значенням оператора А , якщо існує такий елемент х ¹ 0 з H , що А ( х ) = l х ; при цьому х називається власним вектором оператора А , що відповідає даному власному значенню. Число l називається регулярною точкою оператора А , якщо оператор ( А + l Е ) –1 існує, визначений на всьому Н і обмежений; останні значення l називається точками спектру оператора А . Кожне власне значення належить спектру, їх сукупність утворює точковий спектр, останню частину спектру називається безперервним спектром. Той факт, що спектр лінійного оператора, взагалі кажучи, не вичерпується його власними значеннями, є характерною межею лінійних операторів в безконечномірному просторі, що відрізняє їх від лінійних перетворень скінченномірного евклідова простори.
Оператор А * називається зв'язаним до А , якщо скалярний твір ( Ax , в ) = ( х , А * в ) для всіх х і в з Н . Оператор А називається самосопряженним, якщо А = А* , і унітарним, якщо А* = А –1 . Самосопряженниє і унітарні оператори є найважливішими і найбільш повно вивчені класи лінійних операторів в Гільбертовому просторі. Їх теорія є узагальненням теорії самосопряженних і унітарних лінійних перетворень n -мерного евклідова простори. Див. також Спектральний аналіз (математичний).
Одним з простих класів обмежених лінійних операторів в Гільбертовому просторі є сповна безперервні оператори. Оператор А називається сповна безперервним, якщо він переводить всяку обмежену безліч з Н в компактне (див. Компактність ). Спектр сповна безперервного оператора полягає з кінцевого або безконечного рахункового числа власних значень і не має відмінних від нуля граничних крапок. Кожному l ¹ 0 відповідає лише кінцеве число лінійно незалежних власних функцій. Безперервний спектр відсутній.
Самосопряженний сповна безперервний оператор А має хоч би одне власне значення, причому в Н можна вибрати повну ортогональну систему елементів, що складається з власних функцій оператора А .
Необмежені оператори . Поняття обмеженого лінійного оператора виявляється у багатьох випадках дуже вузьким. Тому виникла необхідність розглядати т.з. необмежені оператори. Відповідне, загальніше, визначення свідчить: оператор А називається лінійним необмеженим оператором в Гільбертовому просторі Н , якщо: 1) відповідність в = А ( х ) визначене для всіх х , що належать деякому лінійному різноманіттю W, званому областю визначення оператора A ; 2) А (a х + b в ) = a А ( х ) + b A ( в ).
Найважливішим класом необмежених лінійних операторів в Гільбертовому просторі є диференціальні оператори. Багато завдань математичної фізики, зокрема теорії коливань, приводять до завдання про розшук власних функцій і власних значень різних диференціальних операторів. Наприклад, циліндрові функції,Лежандра многочлени і т.д. є не що інше, як власні функції визначених диференціальних операторів.
Нелінійні оператори . При вивченні операторів припущення про їх лінійність грає вельми істотну роль. Проте у ряді випадків доводиться розглядати і нелінійних операторів. Зокрема, важливе значення в механіці і фізиці мають нелінійні інтегральні рівняння.
Літ.: Колмогоров А. Н., Фомін С. Ст, Елементи теорії функцій і функціонального аналізу, 3 видавництва, М., 1972; Данфорд Н., Шварц Дж. Т., Лінійні оператори. Загальна теорія, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1962.
