Оператори
 
а б в г д е ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ъ ы ь э ю я
 

Оператори

Оператори в квантовій теорії, математичне поняття, широко використовуване в математичному апараті квантової механіки і квантовій теорії поля і що служить для зіставлення певному вектору стану (або хвилевій функції) в ін. певних векторів (функцій) y''. Співвідношення між в і y'' записується у вигляді y '' = в, де   — оператор. У квантовій механіці фізичним величинам (координаті, імпульсу, моменту кількості руху, енергії і т.д.) ставляться у відповідність О.  (О. координати, О. імпульсу і т.д.), стани (або хвилеву функцію), що діють на вектор, в, тобто на величину, що описує стан фізичної системи.

загрузка...

  Прості види О., що діють на хвилеву функцію в( х )(де х — координата частки), — О. множення (наприклад, О. координати>, в = х в) і о. диференціювання (наприклад, О. імпульсу, в = , де i — уявна одиниця,  — постійна Планка). Якщо в — вектор, компоненти якого можна представити у вигляді стовпця чисел, то О. є квадратною таблицею — матрицю .

  В квантовій механіці в основному використовуються лінійні оператори . Це означає, що вони володіють наступною властивістю: якщо y 1 = y'' 1 і y 2 = y'' 2 , то ( з 1 y 1 + з 2 y 2 ) = з 1 y'' 1 + з 2 y'' 2 , де з 1 і з 2 — комплексні числа. Ця властивість відображає суперпозиції принцип один з основних принципів квантової механіки.

  Істотні властивості О.  визначаються рівнянням y n = l n y n , де l n — число. Вирішення цього рівняння y n називається власними функціями (власними векторами) оператора . Власні хвилеві функції (власні вектори стану) описують в квантовій механіці такі стани, в яких дана фізична величина L має певне значення l n . Числа l n називається власними значеннями О., а їх сукупність — спектром О. Спектр може бути безперервним або дискретним; у першому випадку рівняння, що визначає y n , має рішення при будь-якому значенні l n (у певної області), в другому — рішення існують лише при певних дискретних значеннях l n . Спектр О. може бути і змішаним: частково безперервним, частково дискретним. Наприклад, О. координати і імпульсу мають безперервний спектр, а О. енергії залежно від характеру сил, що діють в системі, — безперервний дискретний або змішаний спектр. Дискретні власні значення О. енергії називаються енергетичними рівнями.

  Власні функції і власні значення О. фізичних величин повинні задовольняти певним вимогам. Т. до. безпосередньо вимірювані фізіч. величини завжди приймають речовин. значення, то відповідні квантовомеханіч. О. повинні мати речовин. собств.(власне) значення. Далі, оскільки в результаті виміру фізіч. величини в будь-якому стані в повинно виходити одне з можливих собств.(власне) значень цієї величини, необхідно, щоб довільна хвилева функція (вектор стану) могла бути представлена у вигляді лінійної комбінації собств.(власне) функцій (векторів) y n О. цієї фізіч. величини; ін. словами, сукупність собств.(власне) функцій (векторів) повинна представляти повну систему. Цими властивостями володіють собств.(власне) функції і собств.(власне) значення т.з. самосопряженних О., або ермітових операторів .

  З О. можна виробляти алгебраїч. дії. Зокрема, під твором О. 1 і 2 розуміється такий О.   = 12 , дія якого на вектор (функцію) в дає в = y’’, якщо 2 в = в’ і 1 y’ = y’’. Твір О. в загальному випадку залежить від порядку співмножників, т. е . 12 ¹ 21 . Цим алгебра О. відрізняється від звичайної алгебри чисел. Можливість перестановки порядку співмножників в творі два О. тісно пов'язана з можливістю одночасного виміру фізичних величин, яким відповідають ці О. Необходімим і достатньою умовою одночасної вимірності фізичних величин є рівність 12 = 21 (див. Перестановочні співвідношення ).

  Рівняння квантової механіки можуть бути формально записані точно в тому ж вигляді, що і рівняння класичної механіки (гейзенберговськоє вистава в квантовій механіці), якщо замінити фізичні величини, що входять в рівняння класичної механіки відповідними їм О. Все відмінність між квантовою і класичною механікою зведеться тоді до відмінності алгебри.(алгебра) Тому О. в квантовій механіці інколи називають q -числамі, на відміну від з -чисел, тобто звичайних чисел, з якими має справу класична механіка.

  О. можна не лише умножати, але і підносити до ступеня, утворювати з них ряди і розглядати функції від О. Проїзведеніє ермітових О. в загальному випадку не є ермітовим. У квантовій механіці використовуються і неермітови О., важливим класом яких є унітарні оператори . Унітарні О. не міняють норм («довжин») векторів і «кутів» між ними. Незмінність норми вектора стану дає можливість інтерпретації його компонент як амплітуд вірогідності рівним чином у вихідній і перетвореній функції. Тому дією унітарного О. описується розвиток квантовомеханічної системи в часі, а також її зсув як цілого в просторі, поворот, дзеркальне віддзеркалення і ін. Виконувані унітарними О. перетворення (унітарні перетворення) грають в квантовій механіці таку ж роль, яку в класичній механіці грають канонічні перетворення (див. Механіки рівняння канонічні ).

  В квантовій механіці застосовується також О. комплексного сполучення, що немає лінійним. Твір такого О. на унітарний О. називаються антиунітарним О. О. Антіунітарниє описують перетворення звернення часу і деякі ін.

  В теорії квантових систем, що складаються з тотожних часток, широко застосовується метод квантування вторинного, в якому розглядаються стану з невизначеним або змінним числом часток і вводяться О., дія яких на вектор стану з даним числом часток приводить до вектора стану із зміненим на одиницю числом часток (О. народження і поглинання часток). О. народження або поглинання частки в даній точці х , ( х ) формально подібний до хвилевої функції в( х ), як q- і с- числа, що відповідають одній і тій же фізичній величині відповідно в квантовій і класичній механіці. Такі О. утворюють квантовані поля, що грають фундаментальну роль в релятивістських квантових теоріях (квантовій електродинаміці, теорії елементарних часток; див.(дивися) Квантова теорія поля ).

 

  Літ . див.(дивися) при статтях Квантова механіка, Квантова теорія поля .

  Ст Би. Берестецкий.