Якобіан
 
а б в г д е ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ъ ы ь э ю я
 

Якобіан

Якобіан , функціональний визначник ½a ik ½ 1 n з елементами, де y i = f i ( X 1 , ... , X n ), l £ i £ n , функції, що мають безперервні приватні похідні в деякій області А; позначення:

  .

  Введений До. Якобі (1833, 1841). Якщо, наприклад, n = 2, то система функцій

  y 1 = f 1 (. x 1 , x 2 ), y 2 = f 2 ( x 1 , x 2 ) (1)

  задає відображення області D, лежачої на плоскості x 1 , x 2 , на частину плоскості в 1 , в 2 . Роль Я. для цього відображення багато в чому аналогічна ролі похідної для функції однієї змінної. Наприклад, абсолютне значення Я. у деякій точці М-коду дорівнює коефіцієнту спотворення площ в цій крапці (тобто межі відношення площі образу околиці точки М-коду до площі самої околиці, коли розміри околиці прагнуть до нуля). Я. у точці М-коду позитивний, якщо відображення (1) не міняє орієнтації в околиці точки М-коду , і негативний в протилежному випадку. Якщо Я. не перетворюється на нуль в області D і j ( y 1 , у 2 ) функція, задана в області D 1 (образі D), то

(формула заміни змінних в подвійному інтегралі). Аналогічна формула має місце для кратних інтегралів . Якщо Я. відображення (1) не перетворюється на нуль в області Д, то існує зворотне відображення

  x 1 = j 1 ( y 1 , y 2 ), x 1 = j 2 ( в 1 , y 2 ),

  причому

 

  (аналог формули диференціювання зворотної функції). Це твердження знаходить багаточисельні вживання в теорії неявних функцій . Для можливості явного вираження в околиці точки М-коду (x 1 (0) ..., x n (0 , y 1 (0) ..., y m (0) ) функцій y 1 ..., у т неявно заданих рівняннями F до (x 1 ..., x n , y 1 ..., у м-код ) = 0, (2)

  1 £ до £ m,

  досить, щоб координати точки М-коду задовольняли рівнянням (2), функції Fk мали безперервні приватні похідні і Я.

 

  був відмінний від нуля в точці М.

 

  Літ.: Кудрявцев Л. Д., Математичний аналіз, 2 видавництва, т. 2, М., 1973; Ільін Ст А., Позняк Е. Р., Основи математичного аналізу, 3 видавництва, ч. 1, М., 1971.