Неявні функції, функції, задані співвідношеннями між незалежними змінними, не дозволеними відносно останніх; ці співвідношення є одним із способів завдання функції. Наприклад, співвідношення
x 2 + y 2 - 1 = 0
задає Н. ф.
в = в ( х ) ,
співвідношення
x = rcosjsinj, в = rsinjsinj, z = rcosj
задають Н. ф.:
r = r( x , в, z ), j = j( x , в, z ) , J = J( х, в, z ) .
В простих випадках співвідношення, задаючі Н. ф., можуть бути дозволені в класі елементарних функцій, тобто удається знайти елементарні функції, що задовольняють цим співвідношенням. Так, в першому з наведених вище прикладів маємо:
а в другому:
Взагалі ж таких елементарних функцій знайти не удається. Н. ф. можуть бути як однозначними, так і багатозначними. Не всяке співвідношення (або система співвідношень) між змінними задає Н. ф. Так, якщо обмежуватися лише дійсними значеннями змінних, то співвідношення x 2 + y 2 + 1 = 0 не задає Н. ф., оскільки не задовольняється жодною парою дійсних значень х і в; співвідношення ж e xy = 0 взагалі не задовольняється жодною парою дійсних або комплексних значень х і в. Теорема існування Н. ф. у її простому формулюванні стверджує, що якщо функція F ( x, в ) перетворюється на нуль при парі значень х = x 0 , в = y 0 [ F ( x 0 , y 0 ) ¹ 0] і діфференцируєма в околиці точки ( x 0 , y 0 ) , причому F’ x ( х, в ) і F’ в ( х, в ) безперервні в цій околиці і F’ в ( x 0 , y 0 ) ¹ 0, то в досить малій околиці точки x 0 існує одна і лише одна однозначна безперервна функція в = в ( х ) , що задовольняє співвідношенню F ( x, в ) = 0 і що звертається в в 0 при x = x 0 ; при цьому в ''( x )= — F’ x ( x, в ) /f’ в ( x, в ) .
Для наближеного обчислення значень Н. ф. поблизу точки x 0 , де її значення в 0 вже відоме, широко застосовуються статечні ряди. Так, якщо F ( x, в ) — аналітична функція [тобто може бути розкладена в околиці крапки ( x 0 , в 0 ) в подвійний статечною ряд, що сходиться] і F’ в ( x 0 , в 0 ) ¹ 0, то Н. ф., задана співвідношенням F ( x, в ) = 0, може бути отримана у вигляді статечного ряду
що сходиться в деякій околиці точки х = х 0 . Коефіцієнти c до , до = 1, 2..., можуть бути знайдені або підстановкою цього ряду в співвідношення F ( x , в ) = 0, або послідовним диференціюванням цього співвідношення по х. Наприклад, якщо Н. ф. задана співвідношенням
y 5 + xy - 1 = 0, x 0 = 0, y 0 = 1,
те
і
звідки
з 0 = 1, з 1 = — 1 / 5 з 0 -3 , з 2 = —2 з 1 2 з 0 -1 — 1 / 5 з 1 з 0 -4 = — 1 / 25 і т.д.
Якщо співвідношення F ( x, в ) = 0 може бути представлено у вигляді в = а + х j( в ) , де j( в ) — аналітична функція, то Н. ф. в = в ( х ) , задана цим співвідношенням і що набуває значення а при х = 0, розкладається в ряд Лагранжа
що сходиться в деякій околиці точки х = 0. Наприклад, із співвідношення в = а + x sin в (так зване Кеплера рівняння ) можна отримати:
Обчислення значень Н. ф. у загальному випадку може бути вироблено по методу послідовних наближень.
Літ.: Смирнов Ст І., Курс вищої математики, т. 1, 22 видавництва, М., 1967; т. 3, ч. 2, 8 видавництво, М., 1969; Фіхтенгольц Р. М., Курс диференціального і інтегрального числення, 7 видавництво, т. 1, М., 1969; Кудрявцев Л. Д., Математичний аналіз, т. 2, М., 1970.
