Перетворення, одне з основних понять математики, що виникає при вивченні відповідностей між класами геометричних об'єктів, класами функцій і т.п. Наприклад, при геометричних дослідженнях часто доводиться змінювати всі розміри фігур в одному і тому ж відношенні, збільшувати радіуси кругів на одну і ту ж величину, взагалі зіставляти фігурам якого-небудь класу інші, отримувані з них по певних правилах. При рішенні диференціальних рівнянь операційними методами (див. Операційне числення ) замінюють дані функції іншими, перетвореними функціями, і т.д. Такі відповідності і називаються П. Точніше, перетворенням називається відповідність, через яку кожному елементу х деякої безлічі Х зіставляється сповна певний елемент в деякого іншої безлічі Y. Логічно поняття П. збігається з поняттями функція, відображення, оператор . Термін «П.» частіше вживають в геометрії і функціональному аналізі, при цьому зазвичай рахують відповідність між х і в = f ( x ) взаємно однозначним.
Геометричні перетворення . У геометрії найчастіше розглядаються точкові П., при яких кожній крапці деякого різноманіття (лінії, поверхні, простори) ставиться у відповідність інша точка того ж різноманіття. Іншими словами, точкове П. є відображенням різноманіття на себе. При точковому П. кожна фігура (прообраз), що розглядається як сукупність крапок, перетвориться в нову фігуру звану образом первинної. Якщо точкове П. взаємно однозначно, то можна визначити зворотне П. (див. Відображення ) . Точкове П. називається тотожним, якщо при нім образ кожної крапки збігається з прообразом. Якщо обмежитися для визначеності точковими П. плоскості, то такі П. можуть бути задані аналітично формулами:
x'' = f ( х, в ) , y'' = j q ( х, в ) ,
де х, в — координати прообразу, а x’, y'' — координати образу в одній і тій же системі координат.
Багато важливих класів точкових П. утворюють групу, тобто разом з будь-якими двома П. містять їх твір (результат послідовного вживання), а разом з кожним П. містять зворотні П. Наїболєє важливі приклади груп точкових П. плоскості такі:
1) група обертань плоскості довкола початки координат:
x'' = х cosa — в sina,
y'' = х sina + в cosa,
де а — кут повороту.
2) Група паралельних перенесень, при яких всі крапки зміщуються на один і той же вектор a i + b j :
x'' = х + а, y'' = в + b.
3) Група рухів, що складається з П., що не змінюють відстані між крапками і орієнтації плоскості:
4) Група рухів і дзеркальних віддзеркалень, що складається з П., що не змінюють відстані між крапками плоскості. Сукупність рухів і дзеркальних віддзеркалень, що поєднують деяку фігуру з собою, називається групою симетрії цієї фігури. Ця група визначає властивості симетрії фігури. Наприклад, група симетрії правильного тетраедра складається з 4! = 24 П., що переставляють між собою його вершини.
5) Група П. подібності, що породжується П. руху, дзеркального віддзеркалення і гомотетії .
6) Група аффінних П., що складається з взаємно однозначних відображень плоскість на себе, при якій прямі переходять в прямі:
,
Якщо c 1 = з 2 , те П. називається центро-аффінним, а якщо D = 1, то — екві-аффінним; екві-аффінниє П. не змінюють площі фігур. Див. також Аффінниє перетворення .
7) Група проектних П., що складається з взаємно однозначних П. розширеної плоскості (доповненою нескінченно видаленою прямою), при яких прямі лінії переходять в прямі:
,
З цього запису видно, що пряма ах + by + з = 0 переходить при цьому П. в нескінченно видалену пряму. Див. також Проектне перетворення .
8) Група кругів П. (або П. зворотними радіусами-векторами), породжувана П. руху, дзеркального віддзеркалення, подібності і інверсій . Якщо точки плоскості змалювати комплексними числами, то П. цієї групи запишуться у вигляді:
або,
де w = x'' + iy’, z = x + iy, = x - iy. Т. о., вони збігаються з лінійними для дробу перетвореннями (див. Лінійні для Дробу функції ) . П. цієї групи володіють круговою властивістю, тобто переводять сукупність прямих і кіл на плоскості в себе. Вони володіють також властивістю конформності (див. Конформне відображення ) . П. плоскості, що володіє круговою властивістю, належить завжди групі кругах П.
Групи 1—7 є лінійними групами, т.к. оні переводять прямі лінії в прямі. При цьому групи 1 і 2 є підгрупами групи 3, кожна наступна група (4, 5, 6, 7) містить в собі попередню як частина. Групи 1—6 можна охарактеризувати як сукупність проектних П., таких, що залишають незмінним деякий образ на розширеній плоскості. Наприклад, аффінниє П. є П., що залишають на місці безконечний видалену пряму. Група 8 є прикладом нелінійної групи, т.к. прі П. цієї групи прямі лінії можуть перейти в колі. П. груп 1—8 є біраціональними перетвореннями, тобто такими П., при яких x'' і y'' раціонально виражаються через х і в і назад.
Поряд з точковими П., при яких встановлюється відповідність між крапками, в геометрії застосовуються П. фігур, при яких встановлюється відповідність між самими фігурами. Наприклад, в деяких завданнях геометрію замінюють всі кола колами ж, збільшуючи їх радіус на певну величину. Цим визначається П. різноманіття кіл в себе. Розглядаються також П. що змінюють природу елементів, тобто переводячі крапки в лінії, лінії в точки і т.д. Наприклад, можна поставити у відповідність кожній точці М-коду ( х, в ) пряму ux'' + u y'' = 1, де u і u — деякі функції від х і в . Якщо u і u дріб-лінійно залежать від x і в :
,
,
те має місце загальне проектне П. точок плоскості в пряму плоскість. Якщо при цьому b 1 = a 2 , c 1 = -a, c 2 = -b, те виходить полярне П. відносно деякої лінії другого порядку . Зокрема, коли u = х і u = в, виходить полярне П. відносно кола x 2 + y 2 = 1. При цьому кожній крапці на плоскості ( х, в ) відповідає пряма на плоскості ( х’, у'' ) . Кривої Г на плоскості ( х, в ) відповідає сімейство прямих, що стосуються деякої кривої Г’ (або що проходять через одну і ту ж крапку). Цим встановлюється відповідність між кривими плоскості ( х, в ), що розглядаються як безліч своїх крапок, і кривими плоскості ( х’, у'' ) , що розглядаються як що огинають своїх дотичних. Загальнішими є П., що задаються формулою F ( x, в, x’, y'' ) = 0. Якщо задати x і в , то ця формула визначає деяку криву на плоскості ( х’, у'' ) , а якщо задати x'' і в’, те визначається крива на плоскості ( х, в ) . Цим встановлюється відповідність крапок одній плоскості двохпараметричній безлічі кривих іншої плоскості. Вказану відповідність можна розповсюдити до відповідності між кривими однієї плоскості, що розглядаються як безліч своїх крапок, і кривими іншої плоскості, що розглядаються як що огинають відповідного сімейства кривих. При цьому П. що стосуються один одного криві однієї плоскості переходять в тих, що стосуються один одного криві іншої плоскості. Тому описані П. називаються контактними П., або П, дотики (див. Дотики перетворення ) .
Аналогічно П. плоскості визначаються П. багатовимірних (зокрема, тривимірних) просторів. Для кожної з розібраних вище груп П. плоскості є тривимірний аналог, що виходить з її збільшенням числа перетворюваних змінних. Так, групі 1 відповідає група ортогональних перетворень, групі центро-аффінних П. — група невироджених лінійних перетворень і т.д. Прикладом групи П. чотиривимірного простору є група Лоренца (див. Лоренца перетворення ), що грає важливу роль в теорії відносності. П. багатовимірних просторів використовуються в аналізі при обчисленні кратних інтегралів, оскільки дозволяють звести задану область інтеграції простіший області.
Як для груп П. плоскості, так і для груп П. багатовимірних просторів можна визначити поняття близькості П., що дозволяє утворити безперервні групи П. (див. Безперервна група ) .
Для кожної з груп П. існують властивості фігур, що не змінюються при П. відповідної групи. Ці властивості є, як то кажуть, інваріантами відносно даної групи П. Так, при перетвореннях групи рухів інваріантна відстань між двома крапками, при аффінних П. — паралельність прямих відношення площ двох фігур, при проектних П. — подвійне відношення Ab/ad: Cb/cd точок A , В, З, D, лежачих на одній прямій. Кожній групі П. відповідає своя область геометричних досліджень, що вивчає властивості фігур, що залишаються інваріантними при П. цієї групи (див. Ерлангенськая програма ) . Відповідно до цього розрізняють метричні властивості фігур аффінниє властивості, проектні властивості і т.д. Взагалі кажучи, чим ширше група, тим тісніше зв'язані ці інваріантні властивості з фігурою. Найбільш загальними є властивості фігур, що залишаються інваріантними при будь-яких топологічних П. (тобто будь-яких взаємно однозначних і безперервних П.). До них відносяться розмірність, зв'язність, орієнтовність (див. Топологія ) .
Особливо важливу роль грають П. при встановленні нових і при узагальненні раніше відомих теорем. Якщо у формулювання деякої теореми, доведеної для фігури F, входять лише властивості фігури, інваріантні відносно деякої групи П., то теорема зберігає свою силу для всіх фігур, що отримуються з F П. цієї групи (як то кажуть, гомологічних або еквівалентних F відносно цієї групи). Це властивість П. особлива поважно, якщо серед еквівалентних між собою фігур є така, яка володіє в деяких стосунках найбільш простими властивостями. Так, ряд теорем проектної геометрії були встановлені вперше для кола, а потім перенесений на будь-які невироджені конічні перетини (всі невироджені конічні перетини еквівалентні колу відносно групи проектних П.). При вирішенні геометричних завдань на побудову часто використовують П., для того, щоб привести фігури в найбільш зручні для вирішення положення.
Перетворення функцій . Істотне значення має також теорія груп П. для теорії аналітичних функцій. Там розглядаються класи функцій, що не змінюються при П., створюючих деяку групу (див. Автоморфні функції ) .
Поняття П. грає важливу роль і у функціональному аналізі, де розглядаються П. однієї безлічі функцій в інше. До таким П. відносяться, наприклад, Фур'є перетворення, Лапласа перетворення і ін. При цих П. кожної функції f ставиться за певним правилом у відповідність інша функція j. Наприклад, перетворення Фур'є має вигляд:
.
Воно, як і перетворення Лапласа, відноситься до класу інтегральних П., визначуваних формулами вигляду:
.
У ряді випадків П. дозволяють замінити операції над функціями простішими операціями над їх образами (наприклад, диференціювання — множенням на незалежну змінну), що полегшує вирішення рівнянь.
Багато рівнянь можна записати у вигляді f = Af, де f — шукана функція, а А — символ П. В цьому випадку завдання вирішення рівняння може тлумачити як завдання знаходження функції, що не змінюється при П. Ета точка зору, звана принципом нерухомої крапки, дозволяє у ряді випадків встановлювати існування і єдиність вирішення (див. Стислих відображень принцип ) .
Літ.: Ефімов Н. Ст, Вища геометрія, 5 видавництво, М., 1971; Клейн Ф., Вища геометрія, пер.(переведення) з йому.(німецький), М. — Л., 1939; його ж, Елементарна математика з точки зору вищої. Лекції..., пер.(переведення) з йому.(німецький), 2 видавництва, т. 2, М. — Л., 1934; Адамар Же., Елементарна геометрія, пер.(переведення) з франц.(французький), 4 видавництва, ч, 1, М., 1957.
