Ерлангенськая програма, єдина точка зору на різну геометрію (наприклад, евклідову, аффінную, проектну), сформульована вперше Ф. Клейном на лекції, прочитаній в 1872 в університеті м. Ерланген (Німеччина) і надрукованою в тому ж році під назвою «Порівняльний огляд новітніх геометричних досліджень».
Суть Е. п. полягає в наступному. Як відомо, евклідова геометрія розглядає ті властивості фігур, які не міняються при рухах; рівні фігури визначаються як фігури, які можна перевести одну в іншу рухом. Але замість рухів можна вибрати яку-небудь іншу сукупність геометричних перетворень і оголосити «рівними» фігури, що виходять одна з іншої за допомогою перетворень цієї сукупності; при цьому прийдемо до іншої «геометрії», що вивчає властивості фігур, не змінні при даних перетвореннях. Введена «рівність» повинна задовольняти наступним трьом природним умовам: 1) кожна фігура F «рівна» сама собі, 2) якщо фігура F «дорівнює» фігурі F '' те і F '' «рівна» F, 3) якщо фігура F «рівна» F'' а F'' «рівна» F'''', те і F «рівна» F''''. Відповідно цьому доводиться накладати на сукупність перетворень наступні три вимоги: 1) у сукупність повинне входити тотожне перетворення, що залишає всяку фігуру на місці, 2) поряд з кожним перетворенням П, що переводить фігуру F в F'' в сукупність повинне входити «зворотне» перетворення П -1 переводяче F'' в F, 3) разом з двома перетвореннями П 1 і П 2 , що переводять відповідно F в F'' і F'' в F'''', в сукупність повинен входити твір П 2 П 1 цих перетворень, що переводить F в F'''' (П 2 П 1 ) полягає в тому, що спочатку виробляється П 1 , а потім П 2 ). Вимоги 1), 2) і 3) означають, що дана сукупність є групою перетворень (див. Безперервна група ) . Теорія, яка вивчає властивості фігур, що зберігаються при всіх перетвореннях даної групи, називається геометрією цієї групи.
Вибираючи по-різному групу перетворень, отримаємо різну геометрію. Так, приймаючи за основу групу рухів, ми прийдемо до звичайної (евклідової) геометрії; замінюючи рухи аффіннимі перетвореннями або проектними перетвореннями, прийдемо до аффінной, відповідно, проектній геометрії. Грунтуючись на ідеях А. Келі, Клейн показав, що прийняття за основу групи проектних перетворень, що переводять в себе деякий круг (або довільний конічний перетин), приводить до нєєвклідової геометрії Лобачевського (див. Лобачевського геометрія ) . Клейн ввів в розгляд досить широкий круг іншої геометрії, визначуваної подібним же чином.
Е. п. не охоплює деяких важливих розділів геометрії, наприклад ріманову геометрію . Проте Е. п. мала для подальшого розвитку геометрії істотне стимулююче значення. Важливі роботи, що ставлять своєю за мету об'єднати теоретіко-груповій і диференціально-геометричний підхід до геометрії, належать Я. Схоутену і Е. Картану .
Літ.: Клейн Ф., Порівняльний огляд новітніх геометричних досліджень («Ерлангенськая програма»), у кн.: Про підстави геометрії. Збірка класичних робіт по геометрії Лобачевського і розвитку її ідей, М., 1956; його ж, Елементарна математика з точки зору вищої, пер.(переведення) з йому.(німецький), 2 видавництва, т. 2, М. — Л., 1934; його ж, Вища геометрія, пер.(переведення) з йому.(німецький), М. —- Л., 1939; Александров П. С., Що таке неевклідового геометрія, М., 1950; Ефімов Н. Ст, Вища геометрія, 5 видавництво, М., 1971.
