Безперервна група, математичне поняття, як і поняття звичайною групи, що виникає при розгляді перетворень. Хай М-код — безліч елементів х якого-небудь роду, наприклад чисел, точок простору, функцій і т.п. Говорять, що є перетворення f безлічі М-кодом, якщо кожному елементу x з М-коду поставлений в відповідність певний елемент
в = f ( x ) , (1)
також належний М-код; при цьому передбачається, що для кожного в знайдеться такий елемент х, і притому єдиний, який задовольняє рівнянню (1). Т. о., рівняння (1) вирішуване відносно х:
x = f --1 ( в ) ,
і f --1 також є перетворення безлічі М. Перетворення f -1 називається зворотним до перетворення f . Перетворення е, що переводить кожен елемент х в себе, е ( х ) = х, називається тотожним. Якщо є два перетворення f і g, те послідовне їх вживання дає нове перетворення до:
до ( x ) = f [ g ( x )] .
Перетворення до називається твором перетворень f і g:
до = fg.
Множення деякого перетворення f на тотожне е не міняє його:
fe = ef = f. (2)
Твір перетворення f на його зворотне f --1 дає тотожне:
ff —1 = f -1 f = e. (3)
Для будь-яких трьох перетворень має місце асоціативний закон:
( fg ) h = f ( gh ) . (4)
Сукупність всіх перетворень безлічі М-коду є групою. Можна, проте, розглядати сукупність не всіх перетворень, а будь-яку таку сукупність перетворень, що поряд з кожним перетворенням в неї входить зворотне до нього, а поряд з кожними двома — їх твір. Тоді ми також маємо групу перетворень (підгрупу групи всіх перетворень безлічі М-коду ) . Якщо безліч М-коду є безперервним середовищем (топологічним простором ) , точніше кажучи, якщо відомо, що означає
де x 1 , x 2 ..., x n ... — деяка послідовність елементів з М-коду , а x також належить М-коду (як це має місце, наприклад, в безлічі чисел або крапок), то можна виділити безперервні перетворення. Перетворення f називається безперервним, якщо з (5) слідує
Безліч всіх безперервних перетворень складає групу безперервних перетворень. У багатьох випадках (але не завжди) група безперервних перетворень сама природним чином виявляється безперервним середовищем, тобто в ній визначається поняття граничного переходу: можна говорити про те, що деяка послідовність перетворень сходиться до перетворення. При цьому виявляється, що з
виходить
Така група називається Н. р. перетворень. Хай М-код є безліч точок плоскості. Перетворення f називається рухом плоскості, якщо для кожної пари точок х і в із М-коду відстань між х і в дорівнює відстані між f ( x ) і f ( в ). Перетворення плоскості називається проектним, якщо крапки, лежачі на одній прямій, переходять в крапки, також лежачі на одній прямій. Окремим випадком проектного перетворення є аффінноє, при якому паралельні прямі переходять в паралельні. Тут ми маємо три прості геометричні приклади Н. р. перетворень: групу рухів, групу проектних перетворень і групу аффінних перетворень. Якщо розглядати ті властивості геометричних фігур на плоскість, яка не міняється при рухах плоскості, то ми отримаємо звичайну елементарну геометрію. Аналогічно виникає геометрія проектна і аффінная, Ф. Клейном була висунута загальна точка зору (див. Ерлангенськая програма ) , згідно якої геометрія є наука, що вивчає ті властивості фігур, які не міняються при заданій групі безперервних перетворень. Звідси — роль теорії Н. р. в геометрії. Приймемо за безліч М-кодом всілякі впорядковані системи по n чисел x 1 , x 2 , ..., x n , які трактуватимемо як компоненти вектора х. Розглянемо т.з. лінійне перетворення f , що переводить вектор х у вектор в з компонентамі y 1 , y 2 , ..., y n , причому перетворення задається формулою
Безліч всіх лінійних перетворень складає Н. р. перетворень. Можна розглядати не всі лінійні перетворення, а, наприклад, такі, які не міняють довжини векторів, тобто для яких виконана умова
x 1 2 + x 2 2 +... + x n 2 = в 1 2 + в 2 2 +... + y n 2 .
Такі перетворення складають групу лінійних ортогональних перетворень. Групи лінійних перетворень грають вельми важливу роль, зокрема знаходять своє застосування в квантовій механіці.
Сучасний розвиток теорії груп показав, що при вивченні групи доцільно буває відвернутися від того факту, що елементи її є перетвореннями, а слід трактувати групу просто як безліч елементів, в якій встановлена операція множення, тобто кожній парі елементів групи поставлений у відповідність елемент, званий твором початкових: до = fg, причому як аксіоми висуваються умови (2) (3) (4). Елемент e , що раніше був тотожним перетворенням, тепер називається одиницею групи. Замість зворотного перетворення з'являється зворотний елемент. Існування одиниці і зворотного елементу тепер є аксіомами. Якщо для будь-яких двох елементів f і g вірно fg = gf, те група називається комутативною. Для того, щоб отримати Н. р., слід передбачити, що елементи її складають топологічний простір і що операція множення безперервна, тобто виконана умова (6), яка тепер висувається як аксіома. Так виникло в математиці нове, абстрактне поняття безперервної або, що те ж саме, топологічної групи. Логічно воно складається з операції перемножування і операції граничного переходу. Оскільки обидві ці операції вельми часто зустрічаються в математиці, те поняття Н. р. належить до важливих і знаходить багаточисельні застосування. Найважливішим типом Н. р. є групи Лі (С. Лі — основоположник теорії Н. р.). Якщо в околиці одиниці групи можна ввести координати, тобто кожен елемент f задати числами f 1 , f 2 ..., f r — його координатами, то закон множення до = fg можна записати для елементів, близьких до одиниці, в координатній формі:
k i = j i ( f 1 , f 2 ..., f r , g 1 , g 2 ..., g r ), (7)
i = 1, 2..., r,
де j i — безперервна функція всіх змінних. Якщо ще передбачити, що функції j, тричі безперервно діфференцируєми, то ми прийдемо до поняття групи Лі. Якщо вважати, що координати одиниці всі дорівнюють нулю, тобто якщо вважати одиницю початком координат, то, розкладаючи в ряд Тейлора праву частину співвідношення (7), отримаємо
Числа
називаються структурними константами групи Лі, і до вивчення їх повністю зводиться вивчення групи Лі.
Літ.: Понтрягин Л. С., Безперервні групи, 3 видавництва, М., 1973 (є бібл.).
