Безперервний дріб, ланцюговий дріб, один з найважливіших способів представлення чисел і функцій. Н. д. є вираження вигляду
де а 0 — будь-яке ціле число, а 1 , a 2 ..., a n ... — натуральні числа, звані неповними приватними, або елементами, даною Н. д. ДО Н. д., що змальовує деяке число а, можна прийти, записуючи це число у вигляді
де а 0 — ціле число і 0 < 1/a 1 < 1, потім, записуючи в такому ж вигляді a 1 і т. д. Число елементів Н. д. може бути кінцевим або безконечним; залежно від цього Н. д. називають кінцевою або безконечною. Н. д. (1) часто символічно позначають так:
[ а 0 ; а 1 , а 2 ..., a n ... ] (безконечна Н. д.) (2)
або
[ а 0 ; а 1 , а 2 ..., а n ] (кінцева Н. д.). (3)
Кінцева Н. д. завжди є раціональне число; назад, кожне раціональне число може бути представлене у вигляді кінцевої Н. д. (3); така вистава єдина, якщо зажадати, щоб а n ¹ 1. Н. д. [ а 0 ; а 1 , а 2 ..., а до ] ( до £ n ), записану у вигляді нескоротного дробу p до / q до , називають відповідним дробом порядку до даною Н. д. (2). Чисельники і знаменники відповідних дробів зв'язані рекурентними формулами:
p до +1 = a до +1 p до + p до -1 , q до +1 = a до +1 q до + q до -1 ,
які служать підставою всієї теорії Н. д. З цих формул безпосередньо витікає важливе співвідношення
p до q до -1 — q до p k- 1 = ± 1.
Для кожної безконечною Н. д. існує межа
званий значенням даною Н. д. Кожне ірраціональне число є значенням єдиної безконечною Н. д., отримуваною розкладанням а вказаним вище чином, наприклад
( е — 1) /2 = [0, 1,6, 10,14, 18...];
квадратичні ірраціональності розкладаються в періодичні Н. д.
Основне значення Н. д. для додатків полягає в тому, що відповідні дроби є найкращими наближеннями числа а, тобто, що для будь-якого іншого дробу m / n, знаменник якої не більш g до має місце нерівність | n a — m | > | g до а — p до l; при цьому | q до . — p до | < 1 /q k+ 1 . Непарні відповідні дроби більше а, а парні — менше. При зростанні до непарні відповідні дроби убувають, а парні зростають.
Н. д. використовуються для наближення ірраціональних чисел раціональними. Наприклад, відомі наближення 22 / 7 , 355 / 113 для числа p (стосунки довжини кола до діаметру) суть відповідні дроби для розкладання p в Н. д. Слід зазначити, що перше доказ ірраціональності чисел е і p був даний в 1766 німецьким математиком І. Ламбертом за допомогою Н. д. Французький математик Ж. Ліувілль довів: для будь-якого числа алгебри а мірі n можна знайти таку постійну l, що для будь-якого дробу x / в виконується нерівність |a — x / в | > l/ в n . За допомогою Н. д. можна побудувати числа а такі, що різниця |a — p до / q до | робиться менше a/ g до , яку б постійну l ми не узяли. Так, використовуючи Н. д., можна будувати трансцендентні числа. Недоліком Н. д. є надзвичайна трудність арифметичних дій над ними, рівносильна практичній неможливості цих дій; наприклад, знаючи елементи двох дробів, ми не можемо скільки-небудь просто отримати елементи їх суми або твори.
Н. д. зустрічаються вже в 16 ст в Р. Бомбеллі . У 17 ст Н. д. вивчав Дж. Валліс ; ряд важливих властивостей Н. д. відкрив Х. Гюйгенс, що займався ними у зв'язку з теорією зубчастих коліс. Багато що зробив для теорії Н. д. Л. Ейлер в 18 ст
Літ.: Чебишев П. Л., Повне зібрання творів, 2 видавництва, т. 1, М. — Л., 1946; Хинчин А. Я., Ланцюгові дроби, 2 видавництва, М. — Л., 1949; Ейлер Л., Введення в аналіз нескінченно малих, пер.(переведення) з латів.(латинський), т. 1, М. — Л., 1936; Стилт'єс Т. І., Дослідження про безперервні дроби, пер.(переведення) з франц.(французький), Хар. — До., 1936; Perron О., Die Lehre von den Kettenbrüchen, 2 Aufl., Lpz. — B., 1929; Wall Н. S., Analytic theory of continued fractions, Toronto — N. Y. — L., 1948.
