Непрерывная дробь

Непрерывная дробь, цепная дробь, один из важнейших способов представления чисел и функций. Н. д. есть выражение вида

где a₀ — любое целое число, a₁, a₂,..., a_n,... — натуральные числа, называемые неполными частными, или элементами, данной Н. д. К Н. д., изображающей некоторое число a, можно прийти, записывая это число в виде

где a₀ — целое число и 0 < 1/a₁ < 1, затем, записывая в таком же виде a₁ и т. д. Число элементов Н. д. может быть конечным или бесконечным; в зависимости от этого Н. д. называют конечной или бесконечной. Н. д. (1) часто символически обозначают так:

[а₀; a₁, a₂,..., a_n,...] (бесконечная Н. д.)     (2)

или

[а₀; а₁, a₂,..., a_n] (конечная Н. д.).     (3)

  Конечная Н. д. всегда представляет собой рациональное число; обратно, каждое рациональное число может быть представлено в виде конечной Н. д. (3); такое представление единственно, если потребовать, чтобы a_n ¹ 1. Н. д. [а₀; a₁, a₂,..., a_k] (k £ n), записанную в виде несократимой дроби p_k/q_k, называют подходящей дробью порядка k данной Н. д. (2). Числители и знаменатели подходящих дробей связаны рекуррентными формулами:

p_k+1 = a_k+1p_k + p_k-1, q_k+1 = a_k+1q_k + q_k-1,

которые служат основанием всей теории Н. д. Из этих формул непосредственно вытекает важное соотношение

p_kq_k-1 — q_kp_k-1 = ± 1.

  Для каждой бесконечной Н. д. существует предел

называемый значением данной Н. д. Каждое иррациональное число является значением единственной бесконечной Н. д., получаемой разложением a указанным выше образом, например

(е — 1)/2 = [0, 1,6, 10,14, 18,...];

квадратичные иррациональности разлагаются в периодические Н. д.

  Основное значение Н. д. для приложений заключается в том, что подходящие дроби являются наилучшими приближениями числа a, то есть, что для любой другой дроби m/n, знаменатель которой не более g_k имеет место неравенство |na — m| > |g_ka — p_kl; при этом |q_k. — p_k| < 1/q_k+1. Нечётные подходящие дроби больше a, а чётные — меньше. При возрастании k нечётные подходящие дроби убывают, а чётные возрастают.

  Н. д. используются для приближения иррациональных чисел рациональными. Например, известные приближения ²²/₇, ³⁵⁵/₁₁₃ для числа p (отношения длины окружности к диаметру) суть подходящие дроби для разложения p в Н. д. Следует отметить, что первое доказательство иррациональности чисел е и p было дано в 1766 немецким математиком И. Ламбертом с помощью Н. д. Французский математик Ж. Лиувилль доказал: для любого алгебраического числа a степени n можно найти такую постоянную l, что для любой дроби x/y выполняется неравенство |a — x/y| > l/уⁿ. С помощью Н. д. можно построить числа a такие, что разность |a — p_k/q_k| делается меньше a/g_k, какую бы постоянную l мы ни взяли. Так, используя Н. д., можно строить трансцендентные числа. Недостатком Н. д. является чрезвычайная трудность арифметических действий над ними, равносильная практической невозможности этих действий; например, зная элементы двух дробей, мы не можем сколько-нибудь просто получить элементы их суммы или произведения.

  Н. д. встречаются уже в 16 в. у Р. Бомбелли. В 17 в. Н. д. изучал Дж. Валлис; ряд важных свойств Н. д. открыл Х. Гюйгенс, занимавшийся ими в связи с теорией зубчатых колёс. Многое сделал для теории Н. д. Л. Эйлер в 18 в.

  В 19 в. П. Л. Чебышев, А. А. Марков и др. применили Н. д., элементами которых являются многочлены, к изучению ортогональных многочленов.

  Лит.: Чебышев П. Л., Полное собрание сочинений, 2 изд., т. 1, М. — Л., 1946; Хинчин А. Я., Цепные дроби, 2 изд., М. — Л., 1949; Эйлер Л., Введение в анализ бесконечно малых, пер.(перевод) с лат.(латинский), т. 1, М. — Л., 1936; Стилтьес Т. И., Исследования о непрерывных дробях, пер.(перевод) с франц.(французский), Хар. — К., 1936; Perron О., Die Lehre von den Kettenbrüchen, 2 Aufl., Lpz. — B., 1929; Wall Н. S., Analytic theory of continued fractions, Toronto — N. Y. — L., 1948.