Елементарна геометрія, частина геометрії, що входить в елементарну математику . Кордони Е. р., як і взагалі елементарної математики, не є строго обкресленими. Говорять, що Е. р. є та частина геометрії, яка вивчається в середній школі; це визначення, проте, не лише не розкриває вмісту і характеру Е. р., але і ніяк її не вичерпує, т. до. в Е. р. включається обширний матеріал, лежачий поза шкільними програмами (наприклад, аксіоматика, сферична геометрія). Можна сказати, що Е. р. є історично і, відповідно, логічно перша глава геометрії (оскільки з неї розвинулися інші геометричні напрями); у своїх основах вона склалася в Древній Греції, і виклад її основ дають вже «Початки» Евкліда (3 ст до н.е.(наша ера)). Таке історичне визначення закономірне, але і воно також не уточнює загального вмісту і характеру Е. р., тим більше що розвиток Е. р. продовжується і в даний час. Тому визначення Е. р. має бути розкрите і доповнене.
В Древній Греції досліджували не лише багатокутники, коло, многогранники і ін. фігури, що розглядаються в шкільному курсі, але також конічні перетини (еліпс, гіпербола, парабола) і ряд інших, складніших, кривих і фігур (наприклад, квадратріса). Проте кожного разу крива (фігура) задавалася конкретною геометричною побудовою, лише такі криві (фігури) вважалися геометричними, тобто що можуть бути предметом геометрії; інші ж можливі криві називалися механічним. Ця точка зору була знехтувана в 17 ст Р. Декартом при створенні ним аналітичній геометрії і повністю здолана разом з розвитком аналізу, коли предметом математики стали будь-які (принаймні будь-які аналітичні) функції і криві. У цьому історично ясно позначеному переході від конкретно певних кривих (коло, еліпс і т. д.) і функцій (дана міра х, синус і т. п.) до будь-яких, принаймні з обширного класу, кривим і функціям і полягає логічний перехід від елементарної математики, зокрема від Е. р., до вищої. Е. р. абсолютно виключає розгляд будь-яких аналітичних кривих і поверхонь, які складають вже предмет диференціальній геометрії, будь-яких опуклих тіл, які служать предметом геометрії опуклих тіл, і т. п. В той же час кожна дана крива, кожне дане опукле тіло і т. п., визначені тією або іншою побудовою або конкретною властивістю (наприклад, еліпс, циліндр і т. д.), можуть стати предметом Е. р. Отже, Е. р. характеризується в сенсі її предмету тим, що в ній розглядаються не взагалі будь-які фігури, але кожного разу ті або інші досить певні фігури.
Точніше, Е. р. виходить з простих фігур — крапка, відрізок, пряма, кут, плоскість, і основного поняття про рівність відрізань і кутів або взагалі про поєднання фігур при накладенні, чим визначається їх рівність. Крім того, при строгій аксіоматичній побудові Е. р. явно виділяються поняття: «крапка лежить на прямій» або «на плоскості», «крапка лежить між двома іншими». Предмет Е. р. складають: 1) фігури, визначувані кінцевим числом простих фігур (як, наприклад, багатокутник визначається кінцевим числом відрізань, многогранник — кінцевим числом багатокутників, а отже, знову-таки відрізань); 2) фігури, визначені тією або іншою властивістю, що формулюється у вихідних поняттях (наприклад, еліпс з фокусами А, В є геометричне місце таких точок X що сума відрізань AX і BX дорівнює даному відрізку); 3) фігури, визначені побудовою (як, наприклад, конус будується проведенням прямих з даної крапки Про у всі точки якого-небудь даного кола, не лежачою з Про в одній плоскості, а конічний перетин визначається пересіченням конуса плоскістю). Фігура, як би складна вона не була, задана так само, може стати предметом дослідження в рамках Е. р. Що стосується властивостей таких фігур, то Е. р. обмежується вивченням властивостей, які визначаються знову-таки на основі вказаних простих понять. Властивості ці суть перш за все взаємне розташування фігур, рівність тих або інших елементів фігури, довжина, площа, об'єм. Відповідно, визначення довжини кола, площі еліпса, об'єму кулі і т. п. належать Е. р. Проте загальні поняття довжини, площі і об'єму лежать за межами Е. р., наприклад теорема про те, що серед всіх замкнутих кривих даної довжини найбільшу площу обмежує коло, хоча і говорить про властивість кола, не належить Е. р., т. до. в їй фігурує поняття довжини будь-якої замкнутої кривої і обмежуваної нею площі. У Е. р. розглядаються властивості дотичної до кола, можна розглядати і властивості дотичних до еліпса, гіперболи, параболи, але загальне поняття дотичної лежить за межами Е. р. Це логічна відмінність в спільності понять і міри абстракції сповна відповідає історичному розвитку, бо загальні поняття довжини, площі, об'єму, так само як загальне поняття дотичної до кривої, були поступово вироблені лише разом з розвитком аналізу, а вказана теорема про макс.(максимальний) властивості кола була строго доведена лише в середині 19 ст Геометрія побудови і перетворення, що вивчаються в Е. р., визначаються знову-таки конкретними геометричними розпорядженнями на основі первинних понять геометрії; таке, наприклад, перетворення зворотних радіусів, або інверсія .
Відповідно предмету Е. р. обмежені і її методи; вони свідомо виключають користування загальними поняттями будь-якої фігури, змінній, функції, виключають заслання на загальні теореми теорії меж і т. п. Основний метод Е. р. — це виведення теорем шляхом наочного міркування, заснованого або на вихідних посилках — аксіомах, або на вже відомих теоремах Е. р., із застосуванням тієї або іншої допоміжної побудови, що не вживає загальних понять кривої, тіла і ін. (наприклад, «продовжимо відрізок AB », «розділимо кут А навпіл»). Що залучаються в Е. р. обчислювальні засоби з алгебри і тригонометрії допускають, по суті, зведення до таких побудов. Поняття межі не виключається з Е . р., оскільки воно фігурує в теоремах про довжину кола, поверхню кулі і ін., що безперечно включаються в Е. р. Проте в кожному такому випадку йдеться про конкретній послідовності, заданій елементарно-геометричною побудовою, і наближенні до межі встановлюється безпосередньо, без заслань на загальну теорію меж. Прикладом може служити визначення довжини кола за допомогою розгляду послідовності вписаних і описаних правильних багатокутників. Подібний прийом в принципі можливий для будь-якої даної кривої, але для довільної кривій взагалі нічого подібного зробити не можна, оскільки «крива взагалі» не задана конкретно. Отже, різниця між Е. р., взагалі елементарною математикою і вищою полягає швидше не в тому, що в другій застосовується поняття межі, а в першій — ні, а в мірі спільності цього поняття. Відповідно визначенню методу Е . р. та або інша теорія може належати Е. р. по формулюванню, але не по доказу. Прикладом може служити теорема Мінковського про існуванні опуклого многогранника з даними напрямами і площами граней (точне формулювання див.(дивися) в ст. Многогранник ) , ця теорема елементарна по формулюванню, але відомі її докази не елементарні, т. до. используют загальні теореми аналізу або навіть топології.
Коротко можна сказати, що Е. р. включає ті питання геометрія, яка в своїй постановці і рішенні не включають загальної концепції безконечної безлічі, але лише конструктивно певна безліч (геометричні місця). Коли говорять, що евклідова геометрія заснована, скажімо, на системі аксіом Гільберта або на іншій, близькій по характеру системі аксіом те забувають що при введенні загальних понять кривою опуклого тіла довжини і ін. фактично використовують способи утворення понять, зовсім не передбачені в аксіомах, а що спираються на загальну концепцію безлічі, послідовності і межі, відображення або функцій. Те, що виводиться з аксіом Гільберта без таких додавань, і складає елементарну частину евклідової геометрії. Це розмежування можна уточнити в термінах математичної логіки. В той же час, відповідно такому розумінню Е. р., можна говорити про Е. р. n -мерного евклідова простори, про Е. р. Лобачевського і ін. При цьому маються на увазі ті розділи, теореми і виводи цих геометричних теорій, які характеризуються тими ж межами.
Літ.: Початку Евкліда, пер.(переведення) з греч.(грецький), кн. 1—15, М. — Л., 1948—50; Адамар Же., Елементарна геометрія пер.(переведення) з фр.(франк), ч. 1, 4 видавництва, М., 1958; Погорелов А. Ст, Елементарна геометрія, 2 видавництва, М., 1974; Історія математики з прадавніх часів до початку XIX століття, т. 1—3, М., 1970—72.
