Накреслювальна геометрія , розділ геометрії, в якому просторові фігури вивчаються за допомогою побудови їх зображень на плоскість, зокрема побудови проекційних зображень, а також методи рішення і дослідження просторових завдань на плоскості.
Потреба в зображеннях просторових предметів на плоскості виникла у зв'язку з вирішенням різних практичних питань (наприклад будівництво будівель і інших інженерних споруд, розвиток живопису і архітектури, техніка і т.п.). Особливо велике значення мають креслення, що отримуються проектуванням (проектуванням) даної фігури на плоскість (проекційні креслення). Практика пред'являла до таких креслень ряд вимог; найважливіші з них: 1) наочність зображення, тобто властивість креслення викликати просторове представлення змальовуваної фігури; 2) «оборотність» креслення, тобто можливість точного визначення змальованої фігури по кресленню; 3) простота виконання необхідних побудов; 4) точність графічних рішень. У способах побудови зображень застосовуються центральне і паралельне проектування фігури (натури, об'єкту, оригінала) на плоскість проекцій (див. Проекція ) . Найбільшою наочністю володіють креслення, отримані способом центрального проектування, який відповідає геометричній схемі виникнення зображень на сітківці людського ока. Проте найбільш споживаними в Н. р. є паралельні проекції, які простіші в побудові зображень і зручніші для визначення по ним натуральної фігури. Існують різні види паралельних проекцій; найпоширенішим є спосіб ортогональної проекції на дві або три плоскість (комплексне креслення). Суть цього способу полягає в наступному. Вибирають дві взаємно перпендикулярна плоскість проекцій П 1 і П 2 в просторі. Плоскість П 1 розташовують горизонтально; її називають горизонтально і плоскістю проекцій, а плоскість П 2 — фронтальною плоскістю проекцій. Довільну точку А простори проектують ортогонально на цю плоскість ( мал. 1 ); отримують горизонтальну проекцію A 1 ( Aa 1 (плоскість П 1 ) і фронтальну проекцію A 2 ( Aa 2 ^ плоскість П 2 ). Три точки А , A 1 і A 2 лежать в одній (що проектує) плоскості, перпендикулярній до лінії p 12 пересічення плоскості проекцій. Горизонтальну проекцію якої-небудь фігури отримують, проектуючи ортогонально всі точки цієї фігури на плоскість П 1 , фронтальну проекцію — на плоскість П 2 . Часто буває корисно додати третю проекцію фігури — на плоскість П 3 , перпендикулярну до плоскості П 1 і П 2 . Плоскість П 3 , а також і проекцію на неї називають профільною. Дві проекції точки А (наприклад, A 1 і A 2 ) сповна визначають третю проекцію ( A 3 ) .
Щоб отримати креслення, що складається з трьох вказаних проекцій (комплексне креслення), плоскість П 1 і П 3 поєднують з плоскістю П 2 («головною» плоскістю) шляхом обертання їх довкола ліній p 12 і p 23 пересічення цієї плоскості з плоскістю П 2 ( мал. 2 ). Зазвичай на практиці не вказується положення осей проекцій p 12 і p 13 , тобто положення плоскості проекцій визначається з точністю до паралельного перенесення.
Комплексне креслення обернемо, оскільки по ньому можна визначити відстань між будь-якими двома крапками натуральної фігури. Дійсно, відрізок AB ( мал. 3 ) у натурі є гіпотенузою прямокутного трикутника Abb*, в якому Ab* = A 1 B 1 , а В*В є різниця висот точок В і А, виразима на кресленні відрізком B 2 *B 2 . Звідси можна отримати просту побудову натурального відрізання
( мал. 4 ); для цього потрібно побудувати
Для збільшення наочності комплексного креслення на проекціях фігури встановлюють «умови видимості»: з двох точок А і В, проекції яких на якій-небудь з плоскості проекцій збігаються, наприклад A 1 º B 1 , видимою вважається та, яка розташована ближче до глядача; «невидимі» лінії фігури умовно зображаються штриховими лініями. Приклад такого зображення просторової фігури в трьох проекціях, називається «Вигляд спереду» (фронтальна проекція), «вигляд зверху» (горизонтальна проекція) і «вигляд зліва» (профільна проекція), дан на мал. 5 .
Комплексне креслення (з двох або трьох ортогональних проекцій) є найбільш поширеним виглядом технічного креслення. По ньому легко визначаються всі необхідні розміри змальовуваного предмету. Недолік таких креслень — їх мала наочність.
Для побудови наочніших оборотних зображень в Н. р. застосовується інший спосіб, званий аксонометрією.
При аксонометрії змальовувану фігуру відносять до системи Oxyz осей координат в просторі (див. Аналітична геометрія ) . Цю систему координат називають натуральною. На ріс.6 побудована координатна ламана Om x M 1 M для довільної точки М. Довжини координатних відрізань Om x , M x M 1 , M 1 M є координатами х, в, z точки М. Якщо спроектувати натуральну систему осей Охуz на плоскість П'', те виходить так звана аксонометрична система осей О''х''у''z'' ( мал. 6 ). Проекція O''m'' x M'' 1 M'' координатною ламаною складається з відрізань O''m'' x , M'' x M'' 1 , M'' 1 M'', довжини яких x'', y'', z'' в аксонометричній системі координат називається аксонометричними координатами точки М. Відношення
виражають величини спотворення координатних відрізань при проектуванні; їх називають показниками (коефіцієнтами) спотворення. Якщо всі три показники спотворення рівні, то аксонометрію називають ізометрією, якщо хоч би два з них рівні — діметрієй, якщо ж всі показники спотворення нерівні — тріметрієй.
Щоб за допомогою аксонометричного способу побудувати зображення крапки М-кодом на плоскості П'' в даній паралельній проекції, необхідно мати: а) натуральні координати цієї точки М-коду ( х, в, z ) ; би) аксонометричну систему осей О''х''у''z'' на плоскості проекцій П''; в) показники спотворення u, v, w.
Тоді по формулах (*) знаходять аксонометричні координати точки М'' ( х'', у'', z'' ) і будують по ним точку M'', що є шуканою проекцією точки М. Аксонометричне зображення просторової фігури будують по крапках, що визначають останню. Аксонометричне креслення обернемо: якщо на аксонометричному кресленні дана точка M'' ( х'', у'', z'' ) , те можна по формулах (*) знайти натуральні координати х, в, z точки М.
Якщо задати довільну аксонометричну систему осей O''x''y''z'' на плоскості проекцій П'' (що не зводиться, проте, до однієї прямої) і відношення показників спотворення u: v: w, те, згідно з основною теоремою аксонометрії (Польці теоремі ) , існує таке положення натуральної системи осей координат відносно плоскості проекцій П'' і такий напрям проектування, при яких на плоскості П'' реалізуються раніше вибрана аксонометрична система осей і стосунків показників спотворення.
Для спрощення аксонометричного способу побудови зображень користуються «приведеною» аксонометрією, в якій аксонометричні координати прагнуть по можливості замінити натуральними без спотворення вигляду креслення. Так, наприклад, на мал. 7 дана ортогональна ізометрія об'єкту, змальованого на комплексному кресленні ( мал. 5 ), з використанням натуральних координат замість аксонометричних. При цьому відбувається зміна масштабу аксонометричного креслення, але вигляд його зберігається, тобто креслення змінюється подібно. Аксонометричні зображення предметів, що не мають великого протягу, володіють достатньою наочністю. Цього не можна сказати про зображення крупних об'єктів, таких, як будівлі, греблі і ін. споруди. У цих випадках переважно застосовувати зображення, виконані в центральній проекції (перспективі ) .
Щоб перспективне креслення було оборотним, на плоскості проекцій П'' будують центральну проекцію A'' (перспективу) змальовуваної точки А і перспективу A 1 '' ортогональної проекції A 1 крапки на горизонтальну плоскість П 1 , звану наочною ( мал. 8 ). Плоскість проекцій П'' (картинну плоскість) вибирають переважно перпендикулярною до наочної. Точка A 1 називається підставою точки А. Зокрема, S 1 є підстава центру проекцій («очі») S . Знаючи положення центру S відносно картинної плоскості П'', можна за даними перспективі A'' точки А і перспективі A'' 1 її підстави знайти положення натуральної точки А в просторі. Для цього потрібно провести Sa 1 '' і знайти A 1 . Потім побудувати A 1 A ^ плоскість П 1 і знайти точку А пересічення прямих SA'' і A 1 A. Велике значення при побудові перспективних зображень мають т.з. точки сходу, що є перспективними зображеннями нескінченно видалених точок простору, і лінія горизонту — перспективне зображення нескінченно видаленої прямої наочної плоскості П 1 .
На мал. 9 показано перспективне зображення кімнати. На нім видно головна точка в’ ¥ , яка є точкою сходу для всіх прямих, перпендикулярних (у натурі) картинній плоскості, і лінія горизонту h. Точки сходу ін. паралельних прямих, лежачих в наочній плоскості розташовуються на лінії горизонту h (наприклад, D'' ¥ ).
Використовуючи координатний метод, можна виконати побудову перспективного зображення за способом центральної аксонометрії, аналогічно описаній вище паралельній аксонометрії.
Поряд з побудовами перспективних зображень на плоскості (лінійна перспектива) на практиці уживаються і ін. види центрально-проекційних зображень.
При побудові креслень, що змальовують яку-небудь частину земної поверхні, зручно користуватися так званими проекціями з числовими відмітками. В цьому випадку на кресленні має бути задане достатнє число точок поверхні ( мал. 10 ). Проектуючи ортогонально точки поверхні на плоскість проекцій, записують біля проекції кожної крапки її висотну відмітку, тобто число, що виражає висоту крапки над плоскістю проекцій в вибраних одиницях довжини. Завдяки цьому таке креслення є оборотним. Для збільшення його наочності і зручності користування, проекції крапок, що мають однакову висоту, сполучають лінією, яку називають лінією рівня. Якщо змальована земна поверхня, то плоскість проекцій вважається горизонтальною; лінії рівня називають в цьому випадку горизонталями. Формою і розташуванню горизонталей можна (з відомою мірою точності) судити про рельєф змальованої ділянки земної поверхні, побудувати її перетин заданою на кресленні плоскістю s ( мал. 10 ), а також вирішувати інші завдання. Такий спосіб зображення поверхні і саму поверхню, задану системою горизонталей, називають топографічними.
Історична довідка. Перші спроби проекційних зображень можна зустріти у древніх народів ще до нашої ери. Так, римський архітектор Вітрувій в своєму вигадуванні «Десять книг про архітектуру» (1 ст до н. е.(наша ера)) дає поняття про план (горизонтальній проекції) і фасад (фронтальній проекції) споруди. Італійський архітектор і учений Л. Альберті (15 ст н.е.(наша ера)) вже застосовує «точки сходу» і дає важливий для практики спосіб побудови перспективи за допомогою сітки. У «Трактаті про живопис» (опублікований 1651) Леонардо да Вінчі є багаточисельні вказівки про практичні вживання перспективних зображень, зокрема про «наглядову» перспективу. Німецький художник А. Дюрер в праці «Керівництво до виміру...» (1525) запропонував спосіб побудови перспективи по горизонтальній і фронтальній проекціях об'єкту. Особливо повний виклад прийомів побудови перспективи були дани італійським ученим Г. Убальді (1600). Наукові основи Н. р. були розроблені Ж. Дезаргом і головним чином Р. Монжем, який вважається творцем науковою Н. р.
В Древній Русі при зведенні споруд застосовувалися зображення, в яких можна відмітити елементи геометричного проектування. Так, зображення міста Пскова (1581) було виконане з дотриманням деяких законів перспективи. Креслення винахідника-самоука І. П. Кулібіна, архітектора Д. Ст Ухтомського і ін. є геометрично правильними проекційними зображеннями. Курс Н. р. був вперше введений в 1810 в Петербурзькому інституті корпусу інженерів шляхів сполучення. Першим російським професором Н. р. був Я. А. Севастьянов, що написав ряд вигадувань по різних питаннях Н. р. Науковому розвитку Н. р. сприяли геометричні роботи Е. С. Федорова, який запропонував метод зображення точок простору на плоскості за допомогою векторів. Метод Е. С. Федорова був успішно застосований в багатовимірній Н. р., яка використовується у физико-хімічному аналізі (школа Н. С. Курнакова). Радянські геометри (А. До. Власов, Н. А. Глагольов, Н. Ф. Четверухин і ін.) виконали ряд досліджень в області основної теореми аксонометрії.
Літ.: Ринін Н. А., Матеріали до історії накреслювальної геометрії [Бібліографія біографії, епізоди, факти, хронологія], Л., 1938; Монж Р., Накреслювальна геометрія, пер.(переведення) з [франц.], М., 1947; Федоров Е. С., Нова накреслювальна геометрія, «Ізв. АН(Академія наук)», 1917 № 10; Глагольов Н. А., Накреслювальна геометрія, 3 видавництва, М., 1953; Вольберг О. А., Лекції з накреслювальної геометрії, М. — Л., 1947; Курс накреслювальної геометрії, під ред. Н. Ф. Четверухина, М., 1956; Питання сучасної накреслювальної геометрії. Сб. ст., під ред. Н. Ф. Четверухина, М. — Л., 1947; Глазунов Е. А. і Четверухин Н. Ф., Аксонометрія, М., 1953: Методи накреслювальної геометрії і її застосування. Сб. ст., під ред. Н. Ф. Четверухина, М., 1955; Добряків А. І., Курс накреслювальної геометрії, 3 видавництва, М. — Л., 1952.
