Невласні інтеграли, узагальнення класичного поняття інтеграла на випадок необмежених функцій і функцій, заданих на безконечному проміжку інтеграції (див. Інтеграл ). Певний інтеграл як межа інтегральних сум Рімана може існувати (мати певне кінцеве значення) лише для обмежених функцій, заданих на кінцевому інтервалі. Тому, якщо інтервал інтеграції або подинтегральная функція не обмежені, для визначення інтеграла потрібний ще один граничний перехід: інтеграли, що виходять при цьому, називаються невласними інтегралами.
Якщо функція f ( x ) інтегрована на будь-якому кінцевому відрізку [ а , N ] і якщо існує
те його називають Н. п. функциі f (x) на інтервалі [ а ¥] і позначають
В цьому випадку говорять, що Н. і. сходиться. Коли ця межа, а значить і Н. і., не існує, то інколи говорять, що Н. і. розходиться. Наприклад,
сходиться при g > 1 і розходиться при g £ 1. Аналогічно визначають Н. і. на інтервалах
[—¥, b ] і [—¥, ¥].
Якщо функція f ( x ) , задана на відрізку [ а , b ], не обмежена в околиці точки а , але інтегрована на будь-якому відрізку [ а + e, b ], 0 < e < b - а і якщо існує
те його називають Н. і. функції f (x) на [ а , b ] і записують звичайним способом:
Аналогічно поступають, якщо f ( x ) не обмежена в околиці точки b.
Якщо існує Н. і.
або
те говорять, що Н. і.
або
абсолютно сходиться: якщо ж останні інтеграли сходяться (але перші розходяться), то Н. і.
або
називаються такими, що умовно сходяться.
Завдання що приводять до Н. і., розглядалися в геометричній формі Е. Торрічеллі і П. Ферма в 1644. Точні визначення Н. і. дани О. Коші в 1823. Відмінність умовна і абсолютно Н, що сходяться. і. встановлене Дж. Стоксом і П. Р. Л. Дирихле (1854). Ряд робіт математиків 19 ст присвячений обчисленню Н. і. у випадках, коли відповідна первісна не виражається через елементарні функції. Основними прийомами обчислення Н. і. є диференціювання і інтеграція по параметру, розкладання в ряди, вживання теорії вирахувань. Значення багато Н. і. приводяться в різних таблицях.
Н. і. мають важливе значення в багатьох областях математичного аналізу і його застосувань. У теорії спеціальних функцій (циліндрових функцій, ортогональних многочленів і ін.) одним з основних способів вивчення є зображення функцій у вигляді Н. і., залежних від параметра, наприклад
(див. Гамма-функція ) . ДО Н. і. відноситься і Фур'є інтеграл, а також інтеграли, що зустрічаються при ін. інтегральних перетвореннях. Вирішення краєвих завдань математичної фізики записуються кратними Н. і. з необмеженою підінтегральною функцією. У теорії вірогідності важливе значення має Н. і.
в теорії діффракциі світла — Н. і.
У ряді випадків Н, що розходиться. і. можна приписати певне значення (див. Підсумовування ) . Зокрема, якщо інтеграл
розходиться, але існує
те А називається головним значенням Н. і. і позначають
Так,
Аналогічно вводиться головне значення Н. і. від необмежених функцій. У роботах Н. І. Мусхелішвілі і його учнів побудована теорія інтегральних рівнянь, Н, що містять. і., що розуміються в сенсі головного значення.
Літ.: Смирнов Ст І., Курс вищої математики, 20 видавництво, т. 2, М. — Л., 1967; Фіхтенгольц Р. М., Курс диференціального і інтегрального числення, 7 видавництво т. 2, М., 1969; Кудрявцев Л. Д., Математичний аналіз, т. 1, М., 1970.
