Диференціальне числення, розділ математики, в якому вивчаються похідні і диференціали функцій і їх застосування до дослідження функцій. Оформлення Д. і. у самостійну математичну дисципліну пов'язано з іменами І. Ньютона і Г. Лейбніца (друга половина 17 ст). Вони сформулювали основні положення Д. і. і чітко вказали на взаємно зворотний характер операцій диференціювання і інтеграції. З того часу Д. і. розвивається в тісному зв'язку з інтегральним численням, разом з яким воно складає основну частину математичного аналізу (або аналізу нескінченно малих). Створення диференціального і інтегрального числень відкрило нову епоху в розвитку математики. Воно спричинило за собою поява ряду математичних дисциплін: теорії рядів, теорії диференціальних рівнянь, диференціальної геометрії і варіаційного числення. Методи математичного аналізу знайшли вживання у всіх розділах математики. Невимірний розширилася область додатків математики до питань природознавства і техніки. «Лише диференціальне числення дає природознавству можливість змальовувати математично не лише стани, але і процеси: рух» (Енгельс Ф., див.(дивися) Маркс До. і Енгельс Ф., Соч., 2 видавництва, т. 20, с. 587).
Д. і. зіждется на наступних найважливіших поняттях математики, визначення і дослідження яких складають предмет введення в математичний аналіз: дійсні числа (числова пряма), функція, межа, безперервність . Всі ці поняття викристалізувалися і отримали сучасний вміст в ході розвитку і обгрунтування диференціального і інтегрального числень. Основна ідея Д. і. полягає у вивченні функцій в малому. Точніше: Д. і. дає апарат для дослідження функцій, поведінка яких в досить малій околиці кожної крапки близько до поведінки лінійної функції або многочлена. Таким апаратом служать центральні поняття Д. і.: похідна і диференціал. Поняття похідної виникло з великого числа завдань природознавства і математики, меж одного і того ж типа, що приводяться до обчислення. Найважливіші з них — визначення швидкості прямолінійного руху крапки і побудова дотичної до кривої. Поняття диференціала є математичним вираженням близькості функції до лінійної в малій околиці досліджуваної крапки. На відміну від похідної, воно легке переноситься на відображення одного евклідова простори в інше і на відображення довільних лінійних нормованих просторів і є одним з основних понять сучасного нелінійного функціонального аналізу .
Похідна. Хай потрібно визначити швидкість прямолінійно рухомої матеріальної крапки. Якщо рух рівномірно, то пройденний крапкою дорога пропорційна часу руху; швидкість такого руху можна визначити як дорога, пройденний за одиницю часу, або як відношення дороги, пройденного за деякий проміжок часу, до тривалості цього проміжку. Якщо ж рух нерівномірний, то дороги, пройденниє крапкою в однакові по тривалості проміжки часу, будуть, взагалі кажучи, різними. Приклад нерівномірного руху дає тіло, вільно падаюче в порожнечі. Закон рухи такого тіла виражається формулою s = gt 2 /2, де s — пройденний дорога з початку падіння (у метрах), t — час падіння (у секундах), g — постійна величина, прискорення вільного падіння, g » 9,81 м/сек 2 . За першу секунду падіння тіло пройдет близько 4,9 м-код , за другу — близько 14,7 м-код , а за десяту — близько 93,2 м-код , тобто падіння відбувається нерівномірно. Тому приведене вище визначення швидкості тут неприйнятний. В цьому випадку розглядається середня швидкість руху за деякий проміжок часу після (або до) фіксованого моменту t ; вона визначається як відношення довжини дороги, пройденного за цей проміжок часу, до його тривалості. Ета середня швидкість залежить не лише від моменту t , але і від вибору проміжку часу. У нашому прикладі середня швидкість падіння за проміжок часу від t до t + D t рівна
Це вираження при необмеженому зменшенні проміжку часу D t наближається до величини gt , яку називають швидкістю руху у момент часу t . Таким чином, швидкість руху в який-небудь момент часу визначається як межа середньої швидкості, коли проміжок часу необмежено зменшується.
В загальному випадку ці обчислення треба проводити для будь-якого моменту часу t , проміжку часу від t до t + D t і закону руху, що виражається формулою s = f ( t ). Тоді середня швидкість руху за проміжок часу від t до t + D t дається формулою Ds/d t , де D s = f ( t + D t ) — f ( t ), а швидкість руху у момент часу t рівна
Основна перевага швидкості в даний момент часу, або миттєвій швидкості, перед середньою швидкістю полягає в тому, що вона, як і закон руху, є функцією часу t , а не функцією інтервалу ( t , t + D t ). З іншого боку, миттєва швидкість є деякою абстракцією, оскільки безпосередньому виміру піддається середня, а не миттєва швидкість.
До вираження типа (*) приводить і завдання (см. мал.(малюнок) ) побудови дотичній до плоскої кривої в деякій її точці М-коду . Хай крива Г є графік функції в = f ( x ). Положення дотичної буде визначено, якщо буде знайдений її кутовий коефіцієнт, т. е. тангенс кута а, утвореного дотичною з віссю Ox . Позначимо через x 0 абсцису точки М-коду , а через x 1 = x 0 + D х — абсцису точки M 1 . Кутовий коефіцієнт січної Mm 1 рівний
де D в = M 1 N = f ( x 0 + D x ) — f ( x 0 ) — приріст функції на відрізку [ x 0 , x 1 ]. Визначаючи дотичну в точці М-коду як граничне положення січної Mm 1 , коли x 1 прагне до x 0 , отримуємо
Відволікаючись від механічного або геометричного вміст приведених завдань і виділяючи загальний для них прийом рішення, приходять до поняття похідної. Похідній функції в = f ( x ) в точці х називається межа (якщо він існує) відношення приросту функції до приросту аргументу, коли останнє прагне до нуля, так що
За допомогою похідної визначається, окрім вже розглянутих, ряд важливих понять природознавства. Наприклад, сила струму визначається як межа
де D q — позитивний електричний заряд, переносимий через перетин ланцюга за час D t ; швидкість хімічної реакції визначається як межа
де D Q — зміна кількості речовини за час D t ; взагалі, похідна за часом є міра швидкості процесу, застосовна до найрізноманітніших фізичних величин.
Похідну функції в = f ( x ) позначають f'' ( x ), у'' , dy/dx , df/dx або Df ( х ). Якщо функція в = f ( x ) має в точці х 0 похідну, то вона визначена як в самій точці x 0 , так і в деякій околиці цієї крапки і безперервна в точці x 0 . Зворотний висновок був би, проте, невірним. Наприклад, безперервна в кожній крапці функція
графіком якої служать бісектриси першого і другого координатних кутів, при х = 0 не має похідної, т.к. отношеніє D у/ D х не має межі при D x ® 0: якщо D х > 0, це відношення рівне +1, а якщо D x < 0, то воно рівне -1. Більш того, існують безперервні функції, що не мають похідної ні в одній крапці (див. Безперервна функція ).
Операцію знаходження похідної називають диференціюванням. На класі функцій, що мають похідну, ця операція лінійна.
Таблиця формул і правил диференціювання
( C )´ = 0; ( x n )´ = nx n-1 ;
( a х )´ = a x ln а і ( e x )´ = e x ;
(log а x )´ = 1/ x ln а і (ln x )´ = 1/ x ;
(sin x )´ = cos x ; (cos x )´ = – sin x ;
(tg x )´ = 1/cos 2 x ; (ctg x )´ = – 1/sin 2 x ;
(arc tg x )´ = 1/(1 + x 2 ).
[ f ( x ) ± g ( x )]´ = f ´( x ) ± g ´( x );
[ Cf ( x )]´ = Cf ´( x );
[ f ( x ) g ( x )]´ = f ´´( x ) g ( x ) + f ( x ) g ´( x );
якщо в = f ( u ) і u = j( x ), тобто в = f [j( x )], то dy/dx = ( dy/du )×( du/dx ) = f¢ ( u ) j¢( x ).
Тут З , n і а — постійні, а > 0. Ця таблиця, зокрема, показує, що похідна від всякої елементарній функції є знову елементарна функція.
Якщо похідна f'' ( x ), у свою чергу, має похідну, то її називають другій похідній функції в = f ( x ) і позначають
у" , f" ( x ), d 2 y/dx 2 , d 2 f/dx 2 або D 2 f ( x ).
Для прямолінійно рухомої крапки друга похідна характеризує її прискорення.
Аналогічно визначаються і похідні вищого (цілого) порядку. Похідна порядку n позначається
y n , f n ( x ), d n y/dx n , d n f/dx n або D n f ( x ).
Диференціал. Функція в = f ( x ), область визначення якої містить деяку околицю точки х 0 , називається такою, що диференціюється в точці x 0 , якщо її приріст
D в = f ( x 0 + D x ) - f ( x 0 )
можна записати у формі
D в = А D х + ad х ,
де А = А ( x 0 ), а = а( х , x 0 )® 0 при х ® x 0 . У цьому і лише в цьому випадку вираження Ad x називається диференціалом функції f ( x ) в точці x 0 і позначається dy або df ( x 0 ). Геометрично диференціал (при фіксованому значенні x 0 і змінному прирості D x ) змальовує приріст ординати дотичною, тобто відрізок NT (см. мал.(малюнок) ). Диференціал dy є функцією як від точки х 0 , так і від приросту D х . Говорять, що диференціал є головна лінійна частина приросту функції, розуміючи під цим, що, при фіксованому х 0 , dy є лінійна функція від D х і різниця D в - dy є нескінченно мала відносно D x . Для функції f ( x ) º х маємо dx = D х , тобто диференціал незалежного змінного збігається з його приростом. Тому зазвичай пишуть dy = Adx . Є тісний зв'язок між диференціалом функції і її похідної. Для того, щоб функція від одного змінного в = f (x) мала в точці x 0 диференціал, необхідно і досить, щоб вона мала в цій крапці (кінцеву) похідну f'' ( x 0 ), і справедлива рівність dy = f'' ( x 0 ) dx . Наочний зміст цього речення полягає в тому, що дотична до кривої в = f ( x ) в крапці з абсцисою x 0 як граничне положення січним є також такій прямій, яка в нескінченно малій околиці точки x 0 примикає до кривої тісніше, ніж будь-яка інша пряма. Таким чином, завжди А ( х 0 ) = f'' ( x 0 ); запис dy/dx можна розуміти не лише як позначення для похідної f'' ( x 0 ), але і як відношення диференціалів залежного і незалежного змінних. Через рівність dy = f'' ( x 0 ) dx правила знаходження диференціалів безпосередньо витікають з відповідних правил знаходження похідних.
Розглядаються також диференціали вищих порядків. На практиці за допомогою диференціалів часто виробляють наближені обчислення значень функції, а також оцінюють погрішності обчислень. Хай, наприклад, треба обчислити значення функції f ( x ) в точці х , якщо відомі f ( x 0 ) і f'' ( x 0 ). Замінюючи приріст функції її диференціалом, отримують наближену рівність
f ( x 1 ) » f ( x 0 ) + df ( x 0 ) = f ( x 0 ) + f'' ( x 0 ) ( x 1 - x 0 ).
Погрішність цієї рівності приблизно дорівнює половині другого диференціала функції, тобто
1/2 d 2 f = 1/2 f" ( x 0 )( x 1 – x 0 ) 2 .
Застосування. В Д. і. встановлюються зв'язки між властивостями функції і її похідних (або диференціалів) виразимі основними теоремами Д. і. До їх числа відносяться Ролля теорема, формула Лагранжа f (a) — f ( b ) = f'' ( з )( b — а ), де а < з < b (детальніше за див.(дивися) Кінцевих приростів формула ), і Тейлора формула .
Ці пропозиції дозволяють методами Д. і. провести детальне дослідження поведінки функцій, що володіють достатньою гладкістю (тобто що мають похідні досить високого порядку). Таким дорогою удається досліджувати міру гладкості, опуклість і угнутість, зростання і убування функцій, їх екстремуми, знайти їх асимптоти, точки перегину (див. Перегину крапка), обчислити кривизну кривої, з'ясувати характер її особливих точок і т.д. Наприклад, умова f'' ( x ) > 0 спричиняє за собою (строге) зростання функції в = f ( x ), а умова f" ( x ) > 0 — її (строгу) опуклість. Всі точки екстремуму функції, що диференціюється, належні нутрощі її області визначення, знаходяться серед коріння рівняння f'' ( x ) = 0.
Дослідження функцій за допомогою похідних складає основний додаток Д. і. Крім того, Д. і. дозволяє обчислювати різного роду межі функцій, зокрема межі вигляду 0/0 і ¥/¥ (див. Невизначене вираження, Лопіталя правило ). Д. і. особливо зручно для дослідження елементарних функцій, т.к. в цьому випадку їх похідні виписуються в явній формі.
Д. і. функцій багатьох змінних. Методи Д. і. застосовуються для вивчення функцій декілька змінних. Для функції двох незалежних змінних z = f ( х , в ) приватної похідної по х називається похідна цієї функції по х при постійному в . Ета приватна похідна позначається z'' x , f'' x ( x , в ) ¶ z/ ¶ х або ¶ f ( x , в )/¶ x , так що
Аналогічно визначається і позначається приватна похідна z по в . Величина
D z = f ( x + D x , в + D в ) - f ( x , в )
називається повним приростом функції z = f ( x , в ). Якщо його можна представити у вигляді
D z = A D x + В D в + а,
де а — нескінченно мала вищого порядку, ніж відстань між крапками ( х , в ) і ( х + D х , в + D в ), то говорять, що функція z = f ( x , в ) діфференцируєма. Доданки А D х + В D в утворюють повний диференціал dz функції z = f ( x , в ), причому А = z'' x , B = z'' в . Замість D x і D в зазвичай пишуть dx і dy , так що
Геометрично діфференцируємость функції два змінних означає існування в її графіка дотичної плоскості, а диференціалом є приріст аплікати дотичної плоскості, коли незалежні змінні отримують прирости dx і dy . Для функції два змінних поняття диференціала є значно важливішим і природнішим, чим поняття приватних похідних. На відміну від функцій одного змінного, для функцій два змінних існування обох приватних похідних першого порядку ще не гарантує діфференцируємості функції. Проте, якщо приватні похідні крім того ще безперервні, то функція діфференцируєма.
Аналогічно визначаються приватні похідні вищих порядків. Приватні похідні ¶ 2 f/ ¶ х 2 і ¶ 2 f/ ¶ у 2 , в яких диференціювання ведеться поодинці змінному, називають чистими, а приватні похідні ¶ 2 f/ ¶ x ¶ в і ¶ 2 f/ ¶ в ¶ х — змішаними. Якщо змішані приватні похідні безперервні, то вони між собою рівні. Всі ці визначення і позначення переносяться на випадок більшого числа змінних.
Історична довідка. Окремі завдання про визначення дотичних до кривих і про знаходження максимальних і мінімальних значень змінних величин були вирішені ще математиками Древньої Греції. Наприклад, були знайдені способи побудови дотичних до конічних перетинів і деяким іншим кривим. Проте розроблені античними математиками методи були застосовні лише у вельми окремих випадках і далекі від ідей Д. і.
Епохою створення Д. і. як самостійного розділу математики слід рахувати той час, коли зрозуміло, що вказані спеціальні завдання разом з рядом інших (особливо із завданням визначення миттєвій швидкості) вирішуються за допомогою одного і того ж математичного апарату — за допомогою похідних і диференціалів. Це розуміння було досягнуте І. Ньютоном і Г. Лейбніцом.
Близько 1666 І. Ньютон розробив метод флюксій (див. Флюксій числення ). Основні завдання Ньютон формулював в термінах механіки: 1) визначення швидкості руху по відомій залежності дороги від часу; 2) визначення пройденного за даний час дороги по відомій швидкості. Безперервну змінну Ньютон називав флюентою (поточною), її швидкість — флюксією. Т. о., у Ньютона головними поняттями були похідна (флюксія) і невизначений інтеграл як первісна (флюента). Він прагнув обгрунтувати метод флюксій за допомогою теорії меж, хоча остання була їм лише намічена.
В середині 70-х рр. 17 ст Г. Лейбніц розробив дуже зручний алгоритм Д. і. Основними поняттями у Лейбніца з'явилися диференціал як безконечний малий приріст змінного і певний інтеграл як сума нескінченно великого числа диференціалів. Лейбніцу належать позначення диференціала dx і інтеграла ò ydx , ряд правил диференціювання, зручна і гнучка символіка і, нарешті, сам термін «диференціальне числення». Подальший розвиток Д. і. йшло спочатку по дорозі, наміченій Лейбніцом; велику роль на цьому етапі зіграли роботи братів Я. і І. Бернуллі, Би. Тейлора і ін.
Наступним етапом в розвитку Д. і. були роботи Л. Ейлера і Ж. Лагранжа (18 ст). Ейлер вперше став викладати його як аналітичну дисципліну, незалежно від геометрії і механіки. Він знов висунув до якості основного поняття Д. і. похідну. Лагранж намагався будувати Д. і. алгебра, користуючись розкладанням функцій в статечні ряди; йому, зокрема, належить введення терміну «похідна» і позначення у'' або f'' ( x ). На початку 19 ст було задовільно вирішено завдання обгрунтування Д. і. на основі теорії меж. Це було виконано головним чином завдяки роботам О. Коші, Би. Больцано і К. Гауса . Глибший аналіз вихідних понять Д. і. був пов'язаний з розвитком теорії безлічі і теорії функцій дійсного змінного в кінці 19 — початку 20 вв.(століття)
Літ.: Історія. Вілейтнер Р., Історія математики від Декарта до середини 19 століть, пер.(переведення) з йому.(німецький), 2 видавництва, М., 1966; Стройк Д. Я., Короткий нарис історії математики, пер.(переведення) з йому.(німецький), 2 видавництва, М., 1969; Cantor М., Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, 2 Aufl., Bd 3—4, Lpz. — Ст, 1901—24.
Роботи основоположників і класиків Д. і. Ньютон І., Математичні роботи, пер.(переведення) з латін., М. — Л., 1937; Лейбніц Г., Вибрані уривки з математичних вигадувань, пер.(переведення) з латін., «Успіхи математичних наук», 1948, т. 3, ст 1; Л''Опіталь Р. Ф. де, Аналіз нескінченно малих, пер.(переведення) з франц.(французький), М. — Л., 1935; Ейлер Л., Введення в аналіз безконечних, пер.(переведення) з латін., 2 видавництва, т. 1, М., 1961; його ж, Диференціальне числення, пер.(переведення) з латін., М. — Л., 1949; Коші О. Л., Коротке виклад уроків про диференціальне і інтегральне числення, пер.(переведення) з франц.(французький), СП(Збори постанов) Би, 1831; його ж, аналіз Алгебри, пер.(переведення) з франц.(французький), Лейпціг, 1864.
Підручники і навчальні посібники по Д. і. Хинчин А. Я., Короткий курс математичного аналізу, 3 видавництва, М., 1957; його ж, Вісім лекцій з математичного аналізу, 3 видавництва, М. — Л., 1948; Смирнов Ст І., Курс вищої математики, 22 видавництва, т. 1, М., 1967; Фіхтенгольц Р. М., Курс диференціального і інтегрального числення, 7 видавництво, т. 1, М., 1969; Ла Валле-Пуссен Ш. Же. де, Курс аналізу нескінченно малих, пер.(переведення) з франц.(французький), т. 1, Л. — М., 1933; Курант Р., Курс диференціального і інтегрального числення, пер.(переведення) з йому.(німецький) і англ.(англійський), 4 видавництва, т. 1, М., 1967; Банах С., Диференціальне і інтегральне числення, пер.(переведення) з польськ.(польський), 2 видавництва, М., 1966; Рудін В., Основи математичного аналізу, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1966.
