Зростання і убування функції , функція в = f ( x ) називається такою, що зростає на відрізку [ а , b ], якщо для будь-якої пари точок х і х'' , а £ х < х'' £ b виконується нерівність f ( x ) £ f ( x'' ), і що строго зростає — якщо виконується нерівність f ( x ) < f ( x'' ). Аналогічно визначається убування і строге убування функції. Наприклад, функція в = х 2 ( мал. , а) строго зростає на відрізку [0,1], а
( мал. , би) строго убуває на цьому відрізку. Зростаючі функції позначаються f ( x ), а що убувають f ( x )¯. Для того, щоб що диференціюється функція f ( x ) була такою, що зростає на відрізку [ а , b ], необхідно і досить, щоб її похідна f ''( x ) була ненегативною на [ а , b ].
Поряд із зростанням і убуванням функції на відрізку розглядають зростання і убування функції в крапці. Функція в = f ( x ) називається такою, що зростає в точці x 0 , якщо знайдеться такий інтервал (а, b), що містить точку x 0 , що для будь-якої точки х з (а, b), х> x 0 , виконується нерівність f ( x 0 ) £ f ( x ), і для будь-якої точки х з (а, b), х< x 0 , виконується нерівність f ( x ) £ f ( x 0 ). Аналогічно визначається строге зростання функції в точці x 0 . Якщо f ''( x 0 ) > 0, то функція f ( x ) строго зростає в точці x 0 . Якщо f ( x ) зростає в кожній точці інтервалу ( а , b ), то вона зростає на цьому інтервалі.
Літ.: Фіхтенгольц Р. М., Курс диференціального і інтегрального числення, 6 видавництво, т. 1, М., 1966.
