Безперервність
 
а б в г д е ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ъ ы ь э ю я
 

Безперервність

Безперервність, одне з найважливіших математичних понять, що зустрічається в двох основних концепціях — Н. безліч і Н. відображення. Історично раніше піддалося математичній обробці поняття безперервного відображення, або безперервній функції, ніж логічно передуюче йому поняття «Н. безліч». Поняття безперервної дійсної функції узагальнюється на довільних відображення так: однозначне відображення в = f ( x ) деякої безлічі Х елементів х на безліч Y елементів в називається безперервним, якщо із збіжності послідовності x 1 , x 2 ..., x n ... елементів безлічі Х до елементу х слідує збіжність їх образів f ( x 1 ), f ( x 2 ) .. ., f ( x n ) , ... до образу f ( x ) граничного елементу х (про інші узагальнення того ж поняття див.(дивися) в ст. Топологія ) . Т. о., визначення Н. відображення залежить від того, як в самій безлічі Х і Y визначені граничні співвідношення (у нашому випадку збіжність послідовностей). Безліч елементів з певними граничними співвідношеннями між ними називається в сучасній математиці топологічним простором . В термінах теорії топологічних просторів в даний час зазвичай і викладаються поняття, що характеризують властивості Н. різної безлічі математичних об'єктів. Про ці поняття див.(дивися) в ст. Континуум .

 

  Літ.: Дедекинд Р., Безперервність і ірраціональні числа, пер.(переведення) з йому.(німецький), 4 видавництва, Одеса, 1923; Кантор Р., Основи загального учення про многообразіях, [пер. з йому.(німецький)], в кн.: Теорія асамблей. 1, СП(Збори постанов) Би, 1914 (Нові ідеї в математиці, сб.(збірка) 6); Гільберт Д., Підстави геометрії, пер.(переведення) з йому.(німецький), М. — Л., 1948; Хаусдорф Ф., Теорія безлічі, пер.(переведення) з йому.(німецький), М. — Л., 1937; Александров П. С., Введення в загальну теорію безлічі і функцій, М. — Л., 1948.