Непрерывность, одно из важнейших математических понятий, встречающееся в двух основных концепциях — Н. множества и Н. отображения. Исторически раньше подверглось математической обработке понятие непрерывного отображения, или непрерывной функции, чем логически предшествующее ему понятие «Н. множества». Понятие непрерывной действительной функции обобщается на произвольные отображения так: однозначное отображение у = f (x) некоторого множества Х элементов х на множество Y элементов у называется непрерывным, если из сходимости последовательности x1,x2,..., xn,... элементов множества Х к элементу х следует сходимость их образов f (x1), f (x2),..., f (xn),... к образу f (x) предельного элемента х (о других обобщениях того же понятия см.(смотри) в ст. Топология). Т. о., определение Н. отображения зависит от того, как в самих множествах Х и Y определены предельные соотношения (в нашем случае сходимость последовательностей). Множество элементов с определёнными предельными соотношениями между ними называется в современной математике топологическим пространством. В терминах теории топологических пространств в настоящее время обычно и излагаются понятия, характеризующие свойства Н. различных множеств математических объектов. Об этих понятиях см.(смотри) в ст. Континуум.
Лит.: Дедекинд Р., Непрерывность и иррациональные числа, пер.(перевод) с нем.(немецкий), 4 изд., Одесса, 1923; Кантор Г., Основы общего учения о многообразиях, [пер. с нем.(немецкий)], в кн.: Теория ассамблей. 1, СП(Собрание постановлений)Б, 1914 (Новые идеи в математике, сб.(сборник) 6); Гильберт Д., Основания геометрии, пер.(перевод) с нем.(немецкий), М. — Л., 1948; Хаусдорф Ф., Теория множеств, пер.(перевод) с нем.(немецкий), М. — Л., 1937; Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М. — Л., 1948.
