Невизначені вирази в математиці, вирази, межа яких не може бути знайдений шляхом безпосереднього вживання теорем про межі. Типи Н. в.:
До Н. ст відносяться:
причому
причому
де e = 2,71828... — неперово число . Вказані типи Н. ст символічно позначають так:
Слід зазначити, що дана функція може бути Н. ст при одних значеннях аргументу і не бути таким при інших (наприклад, вираження
немає Н. ст). Не всяке Н. ст має межу; так, вираження
не прагне ні до якої межі
Знаходження межі Н. ст (у разі, коли він існує) називають інколи «розкриттям невизначеності», або знаходженням «дійсного значення» Н. ст (другий термін застарілий). Воно часто грунтується на заміні даній функції інший, що має ту ж межу, але що немає вже Н. ст Інколи така заміна досягається шляхом перетворень алгебри.
Так, наприклад, скорочуючи у вираженні
чисельник і знаменник на 1— x, отримуємо
тому
Для обчислення меж Н. ст типів 1) і 2) часто виявляється корисною теорема (або правило) Лопіталя, що стверджує, що в цих випадках
якщо f ( x ) і g ( x ) діфференцируєми в околиці (кінцевою або нескінченно видаленою) точки x 0 , за можливим виключенням самої точки x 0 , і друга межа існує. Користуючись цією теоремою, знаходимо, наприклад, що
Інколи
знов є Н. ст вигляду 1) або 2); тоді теорема Лопіталя може бути застосована (при виконанні її умов) ще раз і т. д. Проте це не завжди приводить до мети: наприклад вживання теореми Лопіталя до Н. ст
[ f ( x ) = e x + e -х , g ( x ) = e x — e -х ]при x ® 0 нічого не дає. Може також статися, що
не існує, тоді як
типа 1) або 2) все ж існує; приклад:
не існує. Потужним засобом знаходження меж Н. ст є розкладання функцій в ряди. Наприклад, оскільки
те
Н. ст видів 3)—7) можуть бути зведені до одного з видів 1) або 2). Так, наприклад, при х ® p/2 Н. ст
вигляду 4) перетвориться до вигляду 1):
а останнє Н. ст має межу 0; Н. ст вигляду 3) приводиться до Н. ст вигляду 1) або 2) перетворенням
де
Нарешті, якщо через u ( х ) позначити логарифм Н. ст видів 5), 6) і 7): u ( x ) = g ( x ) ln f ( x ) , те u ( х ) є Н. ст вигляду 3), яке, як вказано, зводиться до Н. ст вигляду 1) або 2). Так как { f ( x )} g ( x ) = e u ( x ) , те, знайшовши межу u ( х ) (якщо він існує), можна знайти і межу даного Н. ст Наприклад, для x x при x ® 0 маємо
і, отже,
Літ.: Ільін Ст А., Позняк Е. Р., Основи математичного аналізу, 3 видавництва, ч. 1, М., 1971; Кудрявцев Л. Д., Математичний аналіз, 2 видавництва, т. 1, М., 1973.
