Лінійний функціонал , узагальнення поняття лінійної форми на лінійні простори . Лінійним функціоналом f на лінійному нормованому просторі Е називають числову функцію f ( x ), визначену для всіх х з Е і що володіє наступними властивостями:
1) f ( x ) лінійна, тобто f (( x + ( в ) = ( f ( x ) + ( f ( в ),
де х і в — будь-які елементи з Е , а і b — числа;
2) f ( x ) безперервна.
Безперервність f рівносильна вимозі, щоб було обмежено в Е ; вираження називають нормою f і позначають .
В просторі З [ а, b ] функцій а, безперервних при а ( t ( b , з нормою Л. ф. є, наприклад, вирази:
,
f 2 [ (( t ) ] = (( t 0 ), а ( t 0 ( b.
В Гільбертовому просторі Н Л. ф. суть скалярні твори ( l, х ), де l — будь-який фіксований елемент простору Н; ними вичерпуються всі Л. ф. цього простору.
В багатьох завданнях можна із загальних міркувань встановити, що та або інша величина є Л. ф. Наприклад, до Л. ф. приводить вирішення лінійних диференціальних рівнянь з лінійними краєвими умовами. Тому дуже істотним є питання про загальне аналітичне вираження Л. ф. у різних просторах.
Сукупність всіх Л. ф. даного простору Е перетворюється на лінійний нормований простір, якщо визначити природним чином складання Л. ф. і множення їх на числа. Простір називають зв'язаним до ; цей простір грає велику роль при вивченні Е .
З поняттям Л. ф. зв'язано поняття слабкої збіжності. Послідовність { xn } елементів лінійного нормованого простору називають такою, що слабо сходиться до елементу х , якщо
