Лінійчата геометрія , розділ геометрії, в якому розглядаються як елементи простору прямі лінії. Як відомо, пряма в просторі визначається чотирма постійними — коефіцієнтами а, b, р, q в рівняннях х = az + р, в = bz + q . Отже, величини а, b, р, q можна розглядати як координати прямої. Якщо ці координати є функціями одного, два або трьох параметрів, то відповідні сукупності прямих утворюють лінійчаті поверхні і т.з. конгруенції і комплекси прямих. Ці геометричні образи і є об'єктом вивчення Л. р. Прикладом лінійчатої поверхні може служити однопорожнинний гіперболоїд, прикладом конгруенції — сукупність загальних дотичних до двох яким-небудь поверхням, прикладом комплексу прямих — сукупність дотичних до однієї якій-небудь поверхні.
Для вивчення лінійчатих поверхонь, конгруенцій і комплексів прямих з єдиної точки зору в Л. р. вводяться так звані лінійні однорідні координати прямої. Хай задано дві точки M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) і M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) , тоді лінійними однорідними координатами прямої, проходящей через ці крапки, називають шість чисел, пропорційних (або рівних) числам:
x 1 = x 1 — x 2 , x 2 = y 1 — y 2 , x 3 = z 1 — z 2 , x 4 = y 1 z 2 — y 2 z 1 , x 5 = x 2 z 1 — x 1 z 2 , x 6 = x 1 y 2 — x 2 y 1 .
Числа x 1 , x 2 , x 3 є компонентамі вектора, а x 4 , x 5 , x 6 — компоненти моменту цього вектора відносно початки координат. Легко перевірити, що числа x i задовольняють співвідношенню
x 1 x 4 + x 2 x 5 + x 3 x 6 = 0. (1)
Таким чином, кожною прямою відповідають шість визначуваних з точністю до постійного множника чисел x i , що задовольняють співвідношенню (1), і назад, числа x i (не всі рівні нулю), зв'язані умовою (1), визначають єдиним чином деяку пряму (як її координати у вказаному вище сенсі). Одне однорідне лінійне рівняння
(2)
визначає лінійний комплекс — сукупність прямих, що заповнюють простір так, що через кожну точку простору проходить пучок прямих, лежачих в одній плоскості. Таким чином, кожній точці («полюсу») простору можна поставити у відповідність плоскість («полярну плоскість»), що містить всі прямі комплексу, проходить через цю крапку. Цю відповідність називають нульовою системою; воно аналогічно відповідності полюсів і полярної плоскості поверхні 2-го порядку. Якщо полярна плоскість всіх точок простору проходить через одну пряму (вісь), то комплекс складається зі всіх прямих, що пересікають вісь; його називають спеціальним лінійним комплексом. В цьому випадку коефіцієнти рівняння (2) задовольняють умові
a 1 a 4 + a 2 a 5 + a 3 a 6 = 0.
Система два однорідних лінійних рівнянь вигляду (2) визначає лінійну конгруенцію — сукупність прямих, що пересікають дві дані прямі (які можуть бути і уявними). Три однорідні лінійні рівняння визначають лінійчату поверхню, що є в цьому випадку або однопорожнинним гіперболоїдом, або гіперболічним параболоїдом.
Лінійні однорідні координати прямої були введені Ю. Плюккером в 1846. Він же детально вивчив теорію лінійного комплексу. У подальшому Л. р. розроблялася в роботах Ф.Клейна і російського математика А. П. Котельникова. Диференціальна геометрія конгруенцій, почата Е. Куммером в 1860, отримала великий розвиток в працях італійських математиків Л. Біанки, Г. Санніа і французького математика А. Рібокура. На основі створеного в 1895 Котельниковим «гвинтового» числення радянським математиком Д. Н. Зейлігером розвинена теорія лінійчатих поверхонь і конгруенцій. Проектна теорія конгруенцій побудована в 1927 радянським математиком С. П. Фініковим.
Літ.: Зейлігер Д. Н., Комплексна лінійчата геометрія. Поверхні і конгруенції, Л. — М., 1934; Фініків С. П., Теорія поверхонь, М. — Л., 1934; його ж, проектно-диференціальна геометрія, М. — Л.,1937; його ж, Теорія конгруенцій, М. — Л., 1950; Каган Ст Ф., Основи теорії поверхонь в тензорному викладі, ч. 1—2, М. — Л., 1947—48; Клейн Ф., Вища геометрія, пер.(переведення) з йому.(німецький), М. — Л., 1939; Zindler До., Liniengeometrie, Bd 1—2, Lpz., 1902—06.
