Інтегральна геометрія, розділ математики, в якому вивчаються деякі спеціальні числові характеристики («заходи») для безлічі крапок, прямих, плоскості і ін. геометричних об'єктів, що обчислюються, як правило, за допомогою інтеграції. При цьому «міра» повинна задовольняти вимогам: 1) аддитивности (міра безлічі, що складається з декількох частин, дорівнює сумі заходів цих частин), 2) інваріантності відносно рухів (дві безліч, що відрізняється лише положенням, мають однакові заходи). ДО І. р. відносяться перш за все завдання знаходження довжин, площ і об'ємів, вирішувані за допомогою інтеграції (відповідного простого, подвійного і потрійного).
Поштовхом для розвитку І. р. послужили завдання, що відносяться до так званої геометричної вірогідності, визначуваної як відношення міри безлічі сприятливих випадків до мірі безлічі всіх можливих випадків (по аналогії з класичним визначенням вірогідності, як стосунки числа сприятливих випадків до всіх можливих випадків). Першим і найбільш відомим прикладом є «завдання Бюффона» (1777): на плоскість, покриту рядом паралельних прямих, серед яких кожні дві сусідні знаходяться на відстані h , падає випадковим чином тонка циліндрова голка, довжина l якій менше відстані h між паралелями; яка вірогідність того, що голка пересіче одну з цих прямих. Це завдання рівносильне наступним: яка вірогідність того, що наугад узята січна круга (діаметру h ) пересіче даний відрізок довжини l < h з серединою в центрі круга. Цю вірогідність визначають як відношення «міри» безлічі прямих, що пересікають даний відрізок, до «міри» безлічі прямих, що пересікають даний круг. «Міру» безлічі прямих, що складаються з січних опуклих фігур з контурами кінцевої довжини, вводять так, щоб виконувалися сформульовані вище дві вимоги: аддитивності і інваріантності.
В разі безлічі всіх прямих, що пересікають прямолінійний відрізок, міра цієї безлічі має бути, через інваріантність відносно рухів, функцією лише довжини відрізання. З вимоги аддитивності міри виходить, що ця функція f ( x ) має бути аддитивною: f ( x + в ) = f ( x ) + f ( в ), а звідси витікає f ( x ) = Cx , де C — постійна. Отже, на плоскості міра безлічі всіх прямих, що пересікають даний відрізок, має бути пропорційна його довжині. Коефіцієнт пропорційності зручно прийняти рівним 2, тобто умовитися, що за міру безлічі прямих, що пересікають відрізок довжини 1, приймається число 2. Тоді міра безлічі прямих що пересікають будь-який відрізок, виявиться рівній подвоєній його довжині.
Розглядаючи безліч прямих, що пересікають (кожна в двох крапках) контур деякого опуклого багатокутника, можна вивести, що міра даної безлічі рівна просто периметру.
Переходячи, нарешті, до безлічі прямих, що пересікають опуклу замкнуту лінію («овал»), неважко встановити, що на плоскості мірою безлічі прямих, що пересікають дану опуклу лінію, має бути довжина цієї лінії.
В завданні Бюффона мають як міру безліч сприятливих випадків подвоєну довжину (2 l ) голки, а для міри безлічі можливих випадків — довжину (p h ) кола діаметру h ; тому шукана вірогідність р = 2 l/ p h . Цей результат не раз перевірявся на дослідах з киданням голки. У одному з таких дослідів було вироблено 5000 кидань; при l = 36 мм , h = 45 мм вийшла частота пересічень 0,5064, що дає наближене значення для p = 3,1596.
З деякими видозмінами викладена теорія може бути перенесена на безліч прямих, що пересікають неопуклі контури. Взагалі, для двохпараметричної безлічі прямих на плоскості міра (m) може бути визначена формулою m = òòd r d j, де r, j — полярні координати проекції полюса на пряму. Якщо пряма задана рівнянням ux + uy = 1 ( x , в — прямокутні координати точки), то
В кінці 19 — початку 20 вв.(століття) дослідження по І. р. ще пов'язані з геометричною вірогідністю (роботи англійського математика М. Крофтона, французького математика А. Пумнкаре), але вже в роботі французького математика Е. Картана (1896) вони входять в загальну теорію інтегральних інваріантів, а в 20-х рр. 20 ст складаються в самостійну теорію зі всілякими застосуваннями: до геометрії «в цілому», перш за все до вивчення опуклих областей, до геометричної оптики і теорії випромінювання.
Літ.: Бляшке В., Лекції з інтегральної геометрії, пер.(переведення) з йому.(німецький), «Успіхи математичних наук», 1938, ст 5; Вlaschke W., Vorlesungen über Integralgeometrie H. 2. B.—Lpz., 1937.
