Міра безлічі, математичне поняття, узагальнювальне поняття довжини відрізання, площі плоскої фігури і об'єму тіла на безліч загальнішої природи. Як приклад можна привести визначення міри Лебега (введеною А. Лебегом в 1902) для обмеженої безлічі, лежачої на плоскості. При визначенні міри Лебега, так само як і при визначенні площі плоских фігур в геометрії, виходять з порівняння частини плоскості, займаної безліччю, з вибраною одиницею виміру. При цьому і спосіб порівняння нагадує звичайний процес виміру площі. Міру Лебега m (D) будь-якого квадрата D вважають рівній його площі. Потім дана безліч А покривають кінцевим або безконечним числом квадратів D 1 , D 2 ..., D n ,...; нижню грань чисел
узяту по всіляких покриттях безлічі А , називають верхньою (зовнішньою) мірою m * ( А ) безліч А . Нижня (внутрішня) міра m * ( А ) безліч А визначається як різниця
де D — який-небудь квадрат, що містить безліч А , і — безліч всіх точок цього квадрата, що не містяться в А . Безліч, для якої верхня міра рівна ніжней, називає вимірними по Лебегу, а загальне значення m ( А ) верхнього і нижнього заходів — мірою Лебега безліч А . Геометричні фігури, що мають площу в елементарному сенсі (див. Квадрована область ) , ізмеріми, і їх міра Лебега збігається з їх площею. Проте існує і неквадрована вимірна безліч. Аналогічно можна визначити міру Лебега на прямій. При цьому верхню міру визначають, розглядаючи покриття безлічі інтервалами.
Основні властивості міри Лебега: 1) міра будь-якої безлічі ненегативна: m ( A ) D ³ 0; 2) міра суми
кінцевої або рахункової системи попарно безлічі A, що не перетинається, 1 , A 2 ..., A n ... дорівнює сумі їх заходів:
3) при переміщенні безлічі як твердого тіла його міра не міняється.
Своєрідність поняття «М-код. м.» можна пояснити наступним прикладом: безліч А раціональних точок інтервалу (0, 1) і безліч В ірраціональних точок того ж інтервалу схожі в тому сенсі, що кожне з них щільно на інтервалі (0, 1), т. е., що між будь-якими двома точками вказаного інтервалу знайдуться як точки безлічі А , так і точки безлічі В ; в той же час вони різко розрізняються по мірі: m ( А ) = 0, а m ( В ) = 1.
Для вужчих класів безлічі міра, співпадаюча з лебеговськой, була раніше визначена М. Е. До. Жорданом (1893) і Е. Борелем (1898). Про інші питання, пов'язані з мірою Лебега, див.(дивися) Інтеграл .
Розвиток ряду відділів сучасної математики привів до подальших узагальнень — створення т.з. абстрактній теорії міри. При цьому М. м. визначають аксіоматично. Хай U — довільна безліч і — деяке сімейство його підмножин. Ненегативну функцію μ( A ), визначену для всіх А , що входять в
і якщо, крім того, система задовольняє певним додатковим умовам. Безліч, що входить в, називає вимірною (по відношенню до міри m). Після того, як визначена міра m, вводять поняття вимірних (по відношенню до m) функцій і операцію інтеграції.
Багато основних тверджень з теорії міри Лебега, теорії вимірних функцій і інтеграла Лебега зберігаються з відповідними видозмінами і в абстрактній теорії міри і інтеграла. Остання складає математичну підставу сучасної теорії вірогідності, дану в 1933 А. Н. Колмогоровим . Спеціальний інтерес для ряду областей математики представляють заходи, інваріантні по відношенню до тієї або іншої групи перетворень безлічі U в себе.
Літ.: Колмогоров А. Н., Фомін С. Ст, Елементи теорії функцій і функціонального аналізу, 3 видавництва, М., 1972; Лебег А., Інтеграція і відшукання примітивних функцій, пер.(переведення) з франц.(французький), М. — Л., 1934; Сакс С., Теорія інтеграла, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1949; Халмош П. Р., Теорія міри, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1953.
